《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 [r-r)([x)so. 即 [Cfxg(xd≤f产(xdgx 例4、∫eC[a,b]且∫>0.证明不等式 aa亮2-ar 证： 取)网.=而·对函数)和应用 1 Schwarz不等式，即得所证， 例5、设函数fx)在区间[0,1]上可积.试证明有不等式 iinsr. 证： 先用Jensen不等式法证明不等式：对x,x2,xn∈R,有不 等式 x+x2+.+xa +号++x (参阅上学期期末考试题第 21题) 设T为区间[0,1]的n等分分法.由上述不等式，有 别2 令n→∞，注意到函数f(x)和(x)在区间[0,1]上的可积性以及 函数x和√F的连续性，就有积分不等式《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2              −              b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx , 即          b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 例 4、 f C [ a , b ] 且 f  0 . 证明不等式     − b a b a b a f x dx f x dx 2 ( ) ( ) ( ) . 证 ： 取 ( ) 1 ( ) ( ), ( ) f x  x = f x  x = . 对 函数 (x) 和 (x) 应 用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 5、 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式    1 0 2 1 0 | f | f . 证： 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对 x1 , x2 ,  , xn  R , 有不 等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 1 + + +  + ++  . ( 参阅上学期期末考试题第 21 题 ) 设 T 为区间 [ 0 ,1] 的 n 等分分法. 由上述不等式 , 有   = =              n i n i n n i f n n i f 1 2 1 1 1 . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 ( ) 2 f x 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及 函数 | x | 和 x 的连续性，就有积分不等式