释疑解难多元函数微分学 问题1(1)已知f(xy)=x2+y2-x,求f(x-y,x+y) (2)已知f(x-yx+y)=x2+3y3,求f(xy) 【分析】上述两类问题互为反问题 (1)将x,y的位置用x-y,x+y代替即可 f(x-yx+y)=(x-y)+(x+y)-(x-y)(x+y)=x2+3y )可令m=x-xy=x+y,由此解出x=+,y="=“,于是 =--l+1 也可用配方将x2+3y2变为(x-y),(x+y)的表达式 问题2下列说法正确吗? (1)当动点(x,y)沿着任意一条直线趋向于点(00)时,函数f(xy)的极限存在且等于 A,则Iim∫(x,y)存在 y→ 答:不能例如f(xy)=,当动点(x)沿着任意一条直线y=k(为任意常 Jx 数)趋向于点(0,0)时,有!mf(x,y)=lim 0 x0x2(x2+k2 但当(x)沿抛物线y=x趋向于(0)时,有lm/(xy)=lmx=1=0 故imf(x,y)不存在 →y0 注根据二重极限的定义在点P(x,)的邻域内动点P(xy)趋向于P(x0,y)的方 式是任意的于是常常用动点取不同的路径趋向于(x,y0),使其有不同极限的方法来判定 函数极限不存在 (2)如果一元函数∫(x,y)在y处连续,f(x,y)在x处连续,那末,二元函数 f(x,y)在点(x,y)处是连续的 答:不正确因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此当一个变释疑解难 多元函数微分学 问题 1. (1)已知 ( ) 2 2 f x y x y xy , = + − ,求 f x y x y ( − + , ) . (2)已知 ( ) 2 3 f x y x y x y − + = + , 3 ，求 f x y ( , ). 【分析】上述两类问题互为反问题. (1) 将 x y, 的位置用 x y x y − + , 代替即可. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 f x y x y x y x y x y x y x y − + = − + + − − + = + , 3 (2) 可令 u x y v x y = − = + , ,由此解出 , 2 2 u v v u x y + − = = ,于是 ( ) 2 2 2 2 , 3 2 2 u v v u f u v u uv v     + − = + = − +         ( ) 2 2  = − + f x y x xy y , 也可用配方将 2 2 x y + 3 变为 ( x y x y − + ),( ) 的表达式. 问题 2 下列说法正确吗? (1)当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线趋向于点 (0,0) 时,函数 f x y ( , ) 的极限存在且等于 A,则 ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → 存在. 答：不能.例如 ( ) 2 4 2 , x y f x y x y = + ,当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线 y kx = ( k 为任意常 数)趋向于点 (0,0) 时,有 ( ) ( ) 3 0 2 2 2 0 lim , lim 0 x x y kx kx f x y x x k → → = = = + 但当 ( x y, ) 沿抛物线 2 y x = 趋向于 (0,0) 时,有 ( ) 2 4 4 4 0 0 1 lim , lim 0 2 x x y x x f x y → → x x = = =  + 故 ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → 不存在. 注 根据二重极限的定义,在点 P x y ( 0 0 , ) 的邻域内,动点 P x y ( , ) 趋向于 P x y ( 0 0 , ) 的方 式是任意的.于是常常用动点取不同的路径趋向于 ( x y 0 0 , ) ,使其有不同极限的方法来判定 函数极限不存在. (2)如果一元函数 f x y ( 0 , ) 在 0 y 处连续, f x y ( , 0 ) 在 0 x 处连续,那末,二元函数 f x y ( , ) 在点 ( x y 0 0 , ) 处是连续的. 答：不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变