量固定时,二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式(即点(x,y)沿平行于坐标轴的 方式趋于点(x2y)时)的极限存在,并不能保证(xy)以任何方式趋向于(x,y)的极限存 在且等于f(x,y),就是说不能保证f(xy)的连续性例如函数 x2+y2≠0 f(x,y)=x+y x+ 元函数f(0,y)=0在y=0连续,f(x0)=0在x=0连续但f(xy)在(0)处不连 续事实上,当动点(x,y)沿着任意一条直线y=kx趋向于点(0,0)时,有 limf(x,y)=lim k 随k变化 x+0x2(1+k2)1+k 所以极限不存在,从而不连续 问题3下列运算是否正确? liml lim 野)0 答:不正确.因为lim 是二重极限,而 lim/lim 是二次极限,事实 上lim 是不存在的,参考问题2(2)中的函数 问题4下列运算是否正确? 设=f(x,y)= e sindy+(x-1)acam,求厂(L,f(y) 解∵∫(x)=(x-) arctan√x 对x求导得f(x.)= arctan√F+x-1 f(1)=z 1+x f(ly)=esinry,:f(1, y)=er costy 答:正确.事实上偏导数就是这样定义的 问题5下列命题是否正确? (1)若f(x,y)在(x,y)偏导数存在则f(x,y)在(x,y)连续量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点 ( x y, ) 沿平行于坐标轴的 方式趋于点 ( x y 0 0 , ) 时）的极限存在,并不能保证 ( x y, ) 以任何方式趋向于 ( x y 0 0 , ) 的极限存 在且等于 f x y ( 0 0 , ) ,就是说不能保证 f x y ( , ) 的连续性.例如函数 ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 0 0 xy x y f x y x y x y   +  =  +   + = ， 一元函数 f y (0, 0 ) = 在 y = 0 连续, f x( ,0 0 ) = 在 x = 0 连续,但 f x y ( , ) 在 (0,0) 处不连 续.事实上, 当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线 y kx = 趋向于点 (0,0) 时, 有 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 lim , lim 1 1 x x y kx kx k f x y → → x k k = = = + + 随 k 变化 所以极限不存在,从而不连续. 问题 3 下列运算是否正确？ 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim lim 0. x y x y xy xy → → → x y x y →   = =   + +   答： 不正确.因为 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim lim x y x y xy xy → → → x y x y →     + +   是二重极限，而 是二次极限， 事实 上 2 2 0 0 lim x y xy → x y → + 是不存在的，参考问题 2（2）中的函数. 问题 4 下列运算是否正确? 设 ( , sin 1 arctan , ) ( ) x x z f x y e y x y = = + −  求 f f y x y   (1,1 , 1, ) ( ). 解 f x x x ( ,1 1 arctan ) = − ( ) , 对 x 求导,得 ( ) ( ) 1 1 ,1 arctan 1,1 1 4 2 x x x f x x f x x −    = +   = + . f y e y f y e y (1, sin , 1, cos ) =  =    y ( ) 答：正确.事实上偏导数就是这样定义的. 问题 5 下列命题是否正确? (1)若 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 偏导数存在,则 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 连续