x2+y2≠0 答:不正确,例如f(x,y)=x2+y2 在(0)处,f(.0)=m(:o)-/0=0(0o)=lm2(0y)-/0.)=0 都存在但f(xy)在(0,0)处不连续(见思考题2(2)的例) 注对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论 (2)f(x,y)在(xny)可微的充分必要条件是f(x,y)在(x,y)偏导数存在 答:不正确.对一元函数来说可微与可导是等价的,但多元函数不同.偏导数存在是可 微的必要条件,而不是充分条件 若f(x,y)在(xy)可微则f(xy)在(x,y)偏导数存在且 d==fr(x, y)dx+f(x,y)ay 反之,不然例如上题中的f(xy)在(0,)处偏导数都存在,但不连续,从而也就不可微 但是,若f(xy)在(xy)偏导数连续则∫(x,y)在(x,y)可微 (x+y)sinI x+y2≠0 反之不然例如f(x,y) 在(0,0)处可微,但偏导数 在(00)不连续(读者自己证明) 问题6有人说偏导数f(x,y)及f,(x,y)分别就是函数f(x,y)在M0(x2,y)处沿 Ox轴方向(1=1)及沿Oy轴方向(=)的方向导数这种说法对吗? 答:上述说法不对 事实上,依方向导数定义,当l=i时,在M。处 d,lim f (=,+Ax, yo)-/(Xo o2=, Jim /(xo+Ax, yo)-f(lo, yo) 而 = f(x0+△x,y)-f(x0,y0) 由此可见,前者是单侧极限,后者是双侧极限,两者并非完全一样若一存在,则沿l=i 方向的方向导数二也存在,且两者相等但反之,若存在,则一可能不存在例如答：不正确. 例如 ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 0 0 xy x y f x y x y x y   +  =  +   + = 在 (0,0) 处， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ,0 0,0 0, 0,0 0,0 lim 0, 0,0 lim 0 x x x y f x f f y f f f → → x y − −   = = = = 都存在,但 f x y ( , ) 在 (0,0) 处不连续(见思考题 2 (2)的例). 注 对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论. (2) f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 可微的充分必要条件是 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 偏导数存在. 答：不正确. 对一元函数来说,可微与可导是等价的,但多元函数不同. 偏导数存在是可 微的必要条件,而不是充分条件. 若 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 可微,则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 偏导数存在,且 dz f x y dx f x y dy = + x y   ( , , ) ( ) 反之,不然.例如上题中的 f x y ( , ) 在 (0,0) 处偏导数都存在，但不连续，从而也就不可微. 但是，若 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 偏导数连续,则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 可微. 反之,不然.例如 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 0 , 0 0 x y x y f x y x y x y  + +   =  +   + = 在 (0,0) 处可微，但偏导数 在 (0,0) 不连续(读者自己证明). 问题 6 有人说偏导数 0 0 ( , ) x f x y  及 0 0 ( , ) y f x y  分别就是函数 f x y ( , ) 在 0 0 0 M x y ( , ) 处沿 Ox 轴方向 (l i = ) 及沿 Oy 轴方向 (l j = ) 的方向导数.这种说法对吗？ 答：上述说法不对. 事实上，依方向导数定义，当 l i = 时，在 M0 处 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y l x  →  +  − =   0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y  →+ x +  − =  而 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y x x  →  +  − =   . 由此可见，前者是单侧极限，后者是双侧极限，两者并非完全一样.若 z x   存在，则沿 l i = 方向的方向导数 z l   也存在，且两者相等.但反之，若 z l   存在，则 z x   可能不存在.例如