=x+y2在点(00)处沿1=1方向9=1,而不存在 需特别指出的是:沿Ox轴负向4= a,, Jim f(%o+Ax, yo)- y o2 o= lim /(xo+Ax)-(o,yo)_az (这里假设f(x,y)在M0处的偏导数与方向导数都存在) 类似地,沿方向l=j的方向导数与也不完全一样 问题7用拉格朗日乘数法求条件极值问题,一般都转化为求解一个多变量的方程组, 但解此方程通常会遇到困难,有没有一般的方法? 答:用拉格朗日乘法求条件极值,依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的,解 法的技巧性较高,需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法下面举例说明常见的解题技 例1求函数=x2在约束条件+-+-=-(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值 解设拉格朗日函数为F(x,y,z,)=xz+(-+-+---)令 x y= a =XI 0 1111 F y = a 以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论,不具体求出极值 方法一注意到前三个方程的第一项是x、y、Z三个变量中两个的乘积,如果各 方程乘以相应缺少的那个变量,那么就都成为xyz再消项.即 (1)×x:xz (2)xx:xyz y (3)×x:x (7) (1)+(2)+(3)得3xy2-A(-+-+-)=02 2 z x y = + 在点 (0,0) 处沿 l i = 方向 1 z l  =  ，而 z x   不存在. 需特别指出的是：沿 Ox 轴负向 1 l i =− ， 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y l x  →  +  − =   0 0 0 0 ( ) ( , ) lim x f x x f x y z  →− x x +  −  = = − −  ， （这里假设 f x y ( , ) 在 M0 处的偏导数与方向导数都存在）. 类似地，沿方向 l j = 的方向导数与 z y   也不完全一样. 问题 7 用拉格朗日乘数法求条件极值问题，一般都转化为求解一个多变量的方程组， 但解此方程通常会遇到困难，有没有一般的方法？ 答：用拉格朗日乘法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的，解 法的技巧性较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法.下面举例说明常见的解题技 巧. 例1 求函数 u xyz = 在约束条件 1 1 1 1 ( 0, 0, 0, 0) x y z a x y z a + + =     下的极值. 解 设拉格朗日函数为 1 1 1 1 F x y z xyz ( , , , ) ( ). x y z a   = + + + − 令 2 2 2 ' 0, (1) ' 0, (2) ' 0, (3) 1 1 1 1 ' 0, (4) x y z F yz x F xz y F xy z F x y z a      = − =    = − =    = − =    = + + − =  以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论，不具体求出极值． 方法一 注意到前三个方程的第一项是 x、y、z 三个变量中两个的乘积，如果各 方程乘以相应缺少的那个变量，那么就都成为 xyz 再消项．即 (1) : 0, x xyz x   − = （５） (2) : 0, x xyz y   − = （６） (3) : 0, x xyz z   − = （７） (1)+(2)+(3) 得 1 1 1 3 ( ) 0. xyz x y z − + + =  （８）