性代数)第七习解兰 =(B,a)+4(B乌t+(B,a)=0,∴B⊥a,从而B1W。 0.39 -1.89 13.设V是一n维数氏空间，a≠0是V中一固定向量.证明： 解：A= 0.61 -180 (1)={xx,a)=0,xer)是V的子空间：(2)的维数等于n-1. 0.93-168 4(嗣W-60副卧 证明：对任意B,y∈片，(B+y,a)=(B,a)+,a）)=0,∴B+y∈上对任意常数 1.35-1.50 k,(kB,a四=k(B,a)=0,二kB,从而为P的子空间。 二乘解 (2)由定理4知a可扩充为P的一组正交基%，函，…，a,易知： a,%,,a-1∈.对任意B∈，B可由a,乌，，a线性表示。即存在 k,k,k,…,k使B=ka+ka+k++ka,又B∈，知(B,a)=0,即： (ka+ka+ka++aa)=k(a,a)=0 ·k=0.故 B=ka+ka,++ka即B可由4，，…，g线性表示。4，g,…,g为的 一组基。 14,一相数据如下： 12 解：没所求直钱方程为y=匹+b,将玉，y值代入得： 1,3=a+b 1.8=2a+b 2.2=30+b 2.9=4a+b 1.3 (052\ 0.75 六最佳拟合直线方 2.9 程为y=0.52x+0.75. 15.求下列方程的最小二乘解 0.61x-1.80y=1 0.93x-1.68y= 1.35x-1.50y=1 《线性代数》第七章习题解答 -3- 1 1 2 2 = + + + = l l l ( , ) ( , ) ( , ) 0         ， ⊥   ，从而  ⊥ W . 13．设 V 是一 n 维欧氏空间，   0 是 V 中一固定向量。证明： （1） V x x x V 1 = =   ( , ) 0 ,   是 V 的子空间；（2） V1 的维数等于 n −1. 证明：对任意 1  , V ， ( , ) ( , ) ( , ) 0        + = + = ， +    V1 对任意常数 k k k , ( , ) ( , ) 0     = = ， 1   k V  ，从而 V1 为 V 的子空间。 （2） 由定理 4 知  可扩充为 V 的一组正交基 1 2 1 , , ,   n− ，易知： 1 2 1 1 , , ,   n− V 。 对任意  V1 ，  可 由 1 2 1 , , ,   n− 线性表示。 即存在 1 2 1 , , , , n k k k k − 使 1 1 2 2 1 1 n n      k k k k = + + + + − − ，又  V1 ，知 ( , ) 0   = ，即： 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n k k k k k        + + + + = = − − ，  = k 0. 故 1 2 1 n     k k k = + + + − 即  可由 1 2 1 , , ,   n− 线性表示。  1 2 1 , , ,   n− 为 V1 的 一组基。 14．一组数据如下： 1 2 3 4 1.3 1.8 2.2 2.9 x y 在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程. 解：设所求直线方程为 y ax b = + ，将 x y, 值代入得： 1.3 1.8 2 2.2 3 2.9 4 a b a b a b a b = + = + = + = + ， 1 1 2 1 3 1 4 1 A     =         ， 1.3 1.8 2.2 2.9 B     =         , 30 10 10 4 T A A   =     1 0.2 0.5 ( ) 0.5 1.5 T A A −   − =     − , 1 1.3 0.2 0.5 1 2 3 4 1.8 0.52 ( ) 0.5 1.5 1 1 1 1 2.2 0.75 2.9 T T a A A A B b −             − = = =           −               , 最佳拟合直线方 程为 y x = + 0.52 0.75. 15．求下列方程的最小二乘解. 0.39 1.89 1 0.61 1.80 1 0.93 1.68 1 1.35 1.50 1 x y x y x y x y  − =   − =  − =   − = 解： 0.39 1.89 0.61 1.80 0.93 1.68 1.35 1.50 A   −   − =     −     − ， 3.21 5.42 5.42 11.88 T A A   − =     − ， 1 1.36 0.62 ( ) 0.62 0.37 T A A −   =     ，最小 二乘解： 1 1 1 0.20 ( ) 1 0.52 1 T T x A A A y −         = =             −    