《级性代数)第七章习墨解答 B=0. %=(-l,1,0,10).a3=(4,-5,0,0,). 7。把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）·4=(1,1,0,0)： %=(10,1.0).%=(-1,0,0,1). 将共标准正交化6=名=(0，之，之，0,0)，取： 22 解卤4=（万万0,0，取 g=4-a,6g=l,方0 B4=%60国8石石50明 1 闪4=而匹 510-105,0: 取月=-a56-a,6=写污. 取=-a-66=等。 5555 6顶8=仁。6号宁)4品6即为所课· 肉- 8。次数不超过3的所有实系数多项式，根据： ,6,6,6即为所求 (/八x8x》=」，(x)g(x达构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基。 10。设，6,63是三维政氏空间中一组标准正交基，证明： 解：1，，口为欧氏空间的一个基，现将共标准正交化.后厅万·（此处 4=写24+26-6.凸=写26-6+26,4=写6-26-26，)他是一组标准正 交基。 f=1,=1ld=2).取： 证明：a「=色==1，%，4,4为单位向量，又 1 B=x-x·迹号·6阿A:光：·取 (a,)=分×+子×(-)+(-)×子=0，类似有： (a,心2)=(2,4)=0,4，乌2，心两两正交.从而4，乌2，心为三推政氏空间中一组标 B=r-,6g-(,6e=r- 准正交基 10.设，，，a是欧氏空间P中一组基，证明：如果B∈，使 af-e-h=最 取 (B,a)=01=12,,n,那么B=0. 4 证明：%，乌…，心。是了中一组基，故存在k,人2…，k。+使 a=66-66-,66-3, B=k4+k34+…ka。 (B,)=(B,k4+ka++ka) =回风年6-：与与巧期球 =k(B,a)+k(B,2)…+k(B,a)=0,B=0 11.在欧氏空间中，如果1,2∈'，使对任意a∈V有(，a)=(y2,a),那么=2 证明：对任意a∈r,(%1,a)=(y2,)即(-2，a)=0,由10知为-2=0，从而为= 8。求齐次线性方程组： 2x+名2-写+-3玩，=0的解空间（作为的子空间）的一 12.设W是由a,必2，…，生成子空间，则向量B垂直W充要条件为：B垂直 5+x3-3+x=0 i=1,2,k. 组标准正交基。 证明：必要性显然，只需证充分性.对任意a∈W,口可由么，必，，凸线性表示，即存 9.解：解方程组 2x+x2-3+4-3x5=0 得解空间的一组基.4=(0,1,1,0,0). 在，2，，，使 +3-3+=0 =+l2+…g(,)=(B,1%+l22++l)《线性代数》第七章习题解答 -2-  = 0。 7． 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）. 1  = (1,1,0,0) , 2  = (1,0,1,0) , 3  = −( 1,0 ,0 ,1) 。 解： 1 1 1 1 1 1 ( , ,0 , 0) 2 2    = = ，取： 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ,1 ,0) 2 2      = − = − ， 2 1 1 1 1 1 6 ( , , , 0) 6 6 2    = = ， 取 3 3 3 1 1 3 2 2 111 ( , ) ( , ) ( , , ,1) 333         = − − = − ， 3 3 3 1 3 3 3 3 ( , , , ) 6 6 6 2    = = − ， 1 2 3    , , 即为所求 。 8． 次数不超过 3 的所有实系数多项式，根据： 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x g x f x g x dx − =  构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基。 解： 2 3 1, , , x x x 为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化. 1 1 1 1 2  = = ，（此处 1 2 1 1 (1,1) 1 1 2 dx − = =  =  ），取： 2 1 1    = − = x x x ( , ) ， 1 2 2 2 1 2 3  x dx − = =  ， 2 2 2 1 6 2   x   = = ； 取 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 ( , ) ( , ) 3      = − − = − x x x x ， 1 2 2 2 3 1 1 8 ( ) 3 45  x dx − = − =  ， 2 3 3 3 1 10 (3 1) 4   x   = = − ； 取 3 3 3 3 3 4 1 1 2 2 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) 5        = − − − = − x x x x x x ， 3 4 4 4 1 14 (5 3 ) 4   x x   = = − ； 1 2 3 4     , , , 即为所求. 8. 求齐次线性方程组： 1 2 3 4 5 1 2 3 5 2 3 0 0 x x x x x x x x x  + − + − =   + − + = 的解空间（作为 5 R 的子空间）的一 组标准正交基。 9． 解：解方程组 1 2 3 4 5 1 2 3 5 2 3 0 0 x x x x x x x x x  + − + − =   + − + = ，得解空间的一组基， 1  = (0,1,1,0,0) , 2  = −( 1,1,0,1 ,0), 3  = − (4 , 5,0 ,0 ,1) 。 将其标准正交化. 1 1 1 1 2 2 (0 , , ,0 ,0) 2 2    = = ，取： 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( 1 , , ,1,0) 2 2      = − = − ， 2 2 2 1 10 10 10 10 ( , , , ,0) 5 10 10 5    = = − − ； 取 3 3 3 1 1 3 2 2 7 6 6 13 ( , ) ( , ) ( , , , ,1) 5 5 5 5         − = − − = ， 3 3 3 1 35 2 35 2 35 13 35 35 ( , , , , ) 15 35 35 105 21    −  = = ； 1 2 3 4     , , , 即为所求. 10． 设 1 2 3    , , 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明： 1 1 2 3 1 (2 2 ) 3     = + − , 2 1 2 3 1 (2 2 ) 3     = − + , 3 1 2 3 1 ( 2 2 ) 3     = − − 也是一组标准正 交基。 证明： 2 2 2    1 2 3 = = = 1， 1 2 3    , , 为单位向量，又： 2 2 2 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 ( , ) ( ) ( ) 0   =  +  − + −  = ，类似有： 1 2 2 3 ( , ) ( , ) 0     = = ， 1 2 3    , , 两两正交. 从而 1 2 3    , , 为三维欧氏空间中一组标 准正交基. 10. 设 1 2 , , ,   n 是欧氏空间 V 中一组基，证明：如果  V ， 使 ( , ) 0. 1,2, , i   = =i n ，那么  = 0 . 证明： 1 2 , , ,   n 是 V 中 一 组 基 ， 故 存 在 1 2 , , , n k k k ， 使 1 1 2 2 n n     = + + k k k . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) n n      v k k k = + + + 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 n n = + + + = k k k       ， =  0 11．在欧氏空间中，如果 1 2  , V ，使对任意  V 有 1 2 ( , ) ( , )     = ，那么 1 2   = 证明：对任意  V ， 1 2 ( , ) ( , )     = 即 1 2 ( , ) 0 r r − =  ，由 10 知   1 2 − = 0 ，从而 1 2   = . 12. 设 W 是由 1 2    , , ,  生成子空间，则向量  垂直 W 充要条件为：  垂直 . 1,2, , i  i k = . 证明：必要性显然，只需证充分性.对任意  W ， 可由 1 2    , , ,  线性表示，即存 在 1 2 l l l , , ,  ，使： 1 1 2 2     l l l = + +   . 1 1 2 2 ( , ) ( , )       l l l = + + +  