《级性代数》第七章习墨解答 1.设a,B∈R,以下哪些函数(a,B)定义了R的一个内积？ (2)(ka.B)=(ka)'AB=k(a'AB)=k(a,B) (1)(a)=ah+a,h2+ah+2ah-2a,h·香 (3)设： (2)(a,β)=ah+4+ah-ab-a4,是 rER,(a+B,r)=(a+B)"Ay=a'Ay+BAy=(a,r)+(B,y) (3)(a,B)=a6+a6+ab (4)由A的正定性知(a,)=a4如≥0，当且仅当a=0时，a'4=0,即 (4)(a,)=ah+ab3 否 (a,a)=0,从面R"在(a,)=aAB定义下构成欧氏空间·又 2.以下哪些函数定义了C-1,]上的一个内积 a,)=zA=√a4a=√BAB·柯西--施瓦慈不等式为 (1(.)=(g( (×) Ka'AB)sa AaBAB (2)(f,g)=」fxgx达 (×) 4.在R中，求a,B之间的夹角(a,)(内积按对应分量乘积之和)。 (3)(f.g)=(g(d () (1)a=(2,1,3,2)B=1,2,-2,0 (2)a=(1,1,1,2)B=(3,1,-l,0) (4)(f,g)=-∫fxg(x)达.(x) 解1)(a,)=0.a,)= (5)(.g)=f(x)g(xd (√) 3.把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和） 《2）a角=体万a=而(8方，从商 a4=(1,1,0,0）,%2=(1,0,1,0）,a=(-1,0,0,1) 5=(h方，0,0），6=(-古0)=(-要9) u,)=rco贡 4.在向量空间R2中对任意两个向量a=(a,4),B=(伯，b),规定函数 5.在R中，求一单位向量与(1,1，-1,1)，(1，-1，-1,1)，(2,1,1,3)正交. (a,)=5ah+2a,+2a+a,h,验证：(a,)构成内积. 解：设所求向量为ú=（任，西2西），应有： 解：(1)显然(a,B)=(B,a) +2-3+x4=0 (2)对任意常数咒 --+=0解之得：=-青，五2=0,3=-x4, (ka,)=5ka)M+2(ka)%+2(ka2)6+(ka2)4=a,) 2x+x+x3+3x,=0 (3)设向量y=(9,92),a+B=(a+6,42+6) 又对+店+写+=，得：玉±匹 3 (a+B,y)=5a+)G+2(a+b92+2(a2+b)G1+(a42+2)c =5a9+2a9+2az91+a292+569+2b92+2b9+b9 a=(± 4 3 =(a,Y)+(B,Y) (4)(a,a)=5ad+2a,42+2a4+a=aG+(2a,+a,}20,当且仅当4=42=0 6.设4，乌，，g,B是欧氏空间的向量，且B可以由么，凸，…，么线性表示，证明若B 时，即a=0时，(a,a)=0,命题得证. 与每一个%正交(i-1,2,…,s),则B=0. 3.设A是正定矩阵，在R”中对任两个向量a=(,x2,…,x)了，B=(,乃2，…，： 证明：由B可以由么，乌2，…，么线性表示得知，存在一组数k,k…,k,使 定义(，)=AB,证明在此定义下，"构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西一一 B=k%+k4++k,g又B与 4正交 施瓦兹不等式 证明：(1)(B,a)=B4a=(aAB)7=(a,B) (B,B)=(k%+k4+…+kg,B=∑k(a,B)=0,从而 .l. 《线性代数》第七章习题解答 -1- 1．设 3  , R ，以下哪些函数 ( , )   定义了 3 R 的一个内积？ （1） 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 ( , ) 2 2   = + + + − a b a b a b a b a b ， 否 （2） 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 ( , )   = + + − − a b a b a b a b a b ， 是 （3） 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( , )   = + + a b a b a b ， 否 （4） 1 1 3 3 ( , )   = + a b a b ， 否 2.以下哪些函数定义了 C[ 1,1] − 上的一个内积. （1） 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) f g f x g x dx − =  （  ） （2） 1 1 ( , ) ( ) ( ) f g xf x g x dx − =  （  ） （3） 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) f g x f x g x dx − =  （√） （4） 1 1 ( , ) ( ) ( ) f g xf x g x dx − = − （  ） （5） 1 1 ( , ) ( ) ( ) x f g e f x g x dx − − =  （√） 3．把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 2 3 3 3 3 1 2 3 2 2 6 6 6 6 6 6 2 1,1,0 ,0 , 1,0 ,1,0 , 1,0 ,0 ,1 , ,0 ,0 , , , ,0 , , , ,       = = = − = = − = − 4 ． 在 向 量 空 间 2 R 中 对 任 意 两 个 向 量 1 2 1 2   = = ( , ) , ( , ) a a b b ，规定函数 1 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) 5 2 2   = + + + a b a b a b a b ，验证： ( , )   构成内积. 解：（1）显然 ( , ) ( , )     = （2）对任意常数  1 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) 5( ) 2( ) 2 ( ) ( ) ( , ) k ka b ka b ka b ka b k     = + + + = （3）设向量 1 2  = ( , ) c c ， 1 1 2 2  + = + + ( , ) a b a b 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 ( , ) 5( ) 2( ) 2( ) ( )    + = + + + + + + + a b c a b c a b c a b c = + + + + + + + 5 2 2 5 2 2 a c a c a c a c b c b c b c b c 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 = + ( , ) ( , )     （4） 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( , ) 5 2 2 (2 ) 0   = + + + = + +  a a a a a a a a a ，当且仅当 a a 1 2 = = 0 时，即  = 0 时， ( , ) 0   = ，命题得证. 3．设 A 是正定矩阵，在 n R 中对任两个向量 1 2 ( , , , )T n  = x x x ， 1 2 ( , , , )T n  = y y y ， 定义 ( , ) T     = A ，证明在此定义下， n R 构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西—— 施瓦兹不等式. 证明：（1） ( , ) ( ) ( , ) T T T         = = = A A （2） ( , ) ( ) ( ) ( , ) T T k k A k A k         = = = （3）设： ,( , ) ( ) ( , ) ( , ) n T T T                 + = + = + = + R A A A （4）由 A 的正定性知 ( , ) 0 T     =  A ，当且仅当  = 0 时， 0 T  A = ，即 ( , ) 0   = ，从而 n R 在 ( , ) T     = A 定 义 下 构 成 欧 氏 空 间 。 又 ( , ) T T T           = = = A A A . 柯 西 — — 施瓦兹不等式为 ( ) T T T       A A A   4． 在 4 R 中，求  , 之间的夹角  , （内积按对应分量乘积之和）. （1）   = = − (2 ,1,3, 2) (1, 2 , 2 ,1) （2）   = = − (1,1,1, 2) (3,1, 1,0) 解：（1） ( , ) 0. , 2      =  = （ 2 ） ( , ) 3 ( , ) 3. 7 11 cos , 77           = = = = =  ，从而 3 , cos 77   = arc 5．在 4 R 中，求一单位向量与 (1,1, 1,1 , 1, 1, 1,1 , 2 ,1,1,3 − − − ) ( ) ( ) 正交. 解：设所求向量为 1 2 3 4  = ( , , , ) x x x x ，应有： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 2 3 0 x x x x x x x x x x x x  + − + =   − − + =   + + + = 解之得： 4 1 1 4 2 3 4 3 3 x x x x x = − = = − , 0 , ， 又 2222 xxxx 1 2 3 4 + + + = 1，得： 4 3 26 x =  ， 4 1 3 ( ,0 , , ) 26 26 26  =     6．设 1 2 , , , ,     s 是欧氏空间的向量，且  可以由 1 2 , , ,   s 线性表示，证明若  与每一个 i 正交 ( 1, 2, , ) i s − ，则  = 0 . 证明：由  可以由 1 2 , , ,   s 线 性 表 示 得 知 ， 存 在 一 组 数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 s s     = + + + k k k 又  与 i 正交， 1 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 s s s i i i         k k k k = = + + + = =  ，从而