《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 , 图93 (i)若F为常力，则力F对质点所做的功为W=F(b-a)。 (ⅱ)若F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标x,即 F=F(以x∈a,)为一连续函数，此时F对质点所做的功W该如何计算？类似求 曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。 1°分割。在[a,b]内任取n-1个分点a=x0<x1<x2.<xn-1<xn=b, 把a,b]分度a个小区间，i1,2、,则=形，两为F在 上对质点所做功。 2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力F由于变化 不大，而近似看作常量F=F(5i),5∈-4小il、2n。于是当质点从点x 1-1到xi时力下所做的功为， 形*F5,A,于是P=言形*昌FEA (2) 当分点一多时，同时各个小区间的长度一小时，(2)的近似程度越精确。 3°取极限。于是当对[a,b]作无限细分时，若(2)式右边的和式与某一常 数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。 说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做 功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如 怎G,)A的和式极限问题。在科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定 形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积 分”的概念 二、定积分的定义 将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对3°取极限一步）， 可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先 3 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 （i）若 F 为常力，则力 F 对质点所做的功为 W=F(b-a)。 （ ii ） 若 F 为 变 力 ， 它 连 续 依 赖 于 质 点 所 在 位 置 的 坐 标 x ， 即 F = F(x), x[a,b] 为一连续函数，此时 F 对质点所做的功 W 该如何计算？类似求 曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。 1°分割。在[a，b]内任取 n-1 个分点 a=χ0＜χ1＜χ2.＜χn-1＜χn=b， 把[a，b]分成 n 个小区间[ i i x , x −1 ]，i=1、2、.n，则  = = n i W Wi 1 ，wi 为 F 在[ i i x , x −1 ] 上对质点所做功。 2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力 F 由于变化 不大，而近似看作常量 F=F（ i  ）， [ , ], i i 1 i x x  −  i=1、2.n。于是当质点从点χ i-1 到χi 时力 F 所做的功为， i i i W  F( )x ，于是 i n i i n i i W =  W   F x =1 =1 ( ) （2） 当分点→多时，同时各个小区间的长度→小时，（2）的近似程度越精确。 3°取极限。于是当对[a，b]作无限细分时，若（2）式右边的和式与某一常 数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。 说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做 功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如  =  n i i i f x 1 ( ) 的和式极限问题。在科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定 形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积 分”的概念。 二、定积分的定义 将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对 3°取极限一步）， 可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先