《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 介绍两个相关定义：分割（模）：积分和。 定义1、设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为，a=x0<x1<x2<.x n-1<xn=b,它们把[a,b]分成n个小区间△i=[xi-l,xi门，il、2、n。 这些分点或这些闭子区间构成对[a,b的一个分割，记为T=,)或 ,△2，.A,}。小区间△i的长度为 △xi-xi-xi-并记门1△xil,称为分制T的模。 注：1°由于△xi≤门，il、2、n,因此可用来反映[a,b1被分 割的细密程度。 唯一确定) 2°分割1与其模门的关系：T不随定川。 即分割T一且给出，门就随之确定，但是具有同一细度门的分制T却有无限多 个。 定义2、设f是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a,b]的一个分割 =A4a,任取5△，i1、2-n并作和式二/GA,则称和式为 函数f在[a,b]上的一个积分和，也称Riemann和（因由Riemann提出）。 注：显然积分和既与分割T有关，又与所选取的点集}有关，有了上述两个定 义，可简洁地写出定积分的定义。 定义3、设f是定义在[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对c >0,总存在某一正数6，使得对于[a,b]的任何分割T,以及在其上任意选取的 点集怎，只要<6，则有GA-<6,则称函数在a,上可积或 Riemann可识。数J称为f在[a,b]上的定积分或Riemann积分， 记作J=白fx)达 (3) 其中f称为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，a,b分别称为这个定 积分的下限和上限。 以上定义1~定义3是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 介绍两个相关定义：分割（模）；积分和。 定义 1、设闭区间[a，b]内有 n-1 个点，依次为，a=χ0＜χ1＜χ2＜.χ n-1＜χn=b，它们把[a，b]分成 n 个小区间△i=[χi-1,χi] ,i=1、2、.n。 这些分点或这些闭子区间构成对[a，b]的一个分割，记为 T = x0, x1 , xn  或 1 ,2 , n  。小区间△i 的长度为 △χi=χi-χi-1,并记 T = 1in max │△χi│,称为分割 T 的模。 注：1°由于△χi≤ T ，i=1、2、.n，因此 T 可用来反映[a，b]被分 割的细密程度。 2°分割 T 与其模 T 的关系：T ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ 不唯一确定 唯一确定 T 。 即分割 T 一旦给出， T 就随之确定，但是具有同一细度 T 的分割 T 却有无限多 个。 定义 2、 设 ƒ是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a，b]的一个分割 T= 1 ,2 , n  ，任取  i  △i,i=1、2.n，并作和式  =  n i i i f x 1 ( ) ，则称和式为 函数ƒ在[a，b]上的一个积分和，也称 Riemann 和（因由 Riemann 提出）。 注：显然积分和既与分割 T 有关，又与所选取的点集  i 有关，有了上述两个定 义，可简洁地写出定积分的定义。 定义 3、 设ƒ是定义在[a，b]上的一个函数，J 是一个确定的实数。若对  ＞0，总存在某一正数δ,使得对于[a，b]的任何分割 T，以及在其上任意选取的 点集  i ，只要 T ＜δ，则有  =  − n i i i f x J 1 ( ) ＜  ，则称函数ƒ在[a,b]上可积或 Riemann 可识。数 J 称为ƒ在[a，b]上的定积分或 Riemann 积分， 记作 =  b a J f (x)dx （3） 其中ƒ称为被积函数，χ为积分变量，[a,b ]为积分区间，a，b 分别称为这个定 积分的下限和上限。 以上定义 1～定义 3 是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的