《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 有关的几点补充注释。 注1：表达定积分的极限形式： 界，=8达 (4) 把定积分定义的ε一6说法和函数极限的ε一6说法对照，便会发现两者有相似 的陈述方式，因此可写作(4)式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极 大的区别：在函数极限血田中，对每一个极限变量×来说，(x)的值是 唯一确定的：而对于积分和的极限而言，每一个并不唯一对应积分和的一个 值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注2：可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个 分析性质) 据§3的T9.3知，连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号 来表示 )连续函数y(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为S=治fx本： 2)在连续变力F(x)作用下，质点从a到b所做的功为W=白F(x迹 注3：定积分的几何意义 由注2中知，对于[a,b]上的连续函数f,当 (i)f(x)≥0，xe[a,b]时，定积分(3)的几何意义是：该曲边梯形 的面积。 (ii)f(x）≤0，xe[a,b]时，J=启f6达=-8-x达是位于x 轴下方的曲边梯形面积的相反数，定为“负面积”。 (iii)对于一般非定号的f(x)而言，定积分J的值是曲线y=时(x)在 x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数 和（图9-4）。 5 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 有关的几点补充注释。 注 1：表达定积分的极限形式： x dx b a f i x n i i J f T ( ) 1 lim ( ) 0   =  = = →  （4） 把定积分定义的ε—δ说法和函数极限的ε—δ说法对照，便会发现两者有相似 的陈述方式，因此可写作（4）式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极 大的区别：在函数极限 lim f (x) x→a 中，对每一个极限变量χ来说，ƒ（χ）的值是 唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个 T 并不唯一对应积分和的一个 值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注 2： 可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个 分析性质） 据§3 的 TH9.3 知,连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号 来表示. 1)连续函数 y=ƒ(χ)≥0 在[a,b]上形成的曲边梯形面积为 =  b a S f (x)dx ; 2)在连续变力 F(χ)作用下，质点从 a 到 b 所做的功为 =  b a W F(x)dx。 注 3： 定积分的几何意义 由注 2 中知，对于[a，b]上的连续函数ƒ，当 （i）ƒ（χ）≥0，χ  [a，b]时，定积分（3）的几何意义是：该曲边梯形 的面积。 （ii）ƒ（χ）≤0，χ  [a，b]时， =  = − − b a x dx f x dx b a J f ( ) [ ( )] 是位于χ 轴下方的曲边梯形面积的相反数，定为“负面积”。 （iii）对于一般非定号的ƒ（χ）而言，定积分 J 的值是曲线 y=ƒ（χ）在 χ轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数 和（图 9-4）