《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 幻9-4 注红定积分的物理意义。从物程角度看。定积分广 表示变力(x) 使质点沿x轴由点a移动到b时所作的功。 定积分的几何意义与物理意义实际上给出了定积分的两个简单而重要的应 用。同时了解定积分的几何意义，对理解定积分的许多性质及其证明方法大有帮 助。 注5：定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f和积分区间[4，b] 有铁.面与我分安量所有的行号无关.每达=疗0-疗O0 这一点与不定积分不同，因不定积分与积分变量的选取有关，不允许随便改写积 分变量。 注6：分割T的细度门→0表示分割T越来越细的极限过程，此时分点个 数n也越米越多，即n→切：但反过来，当n→+o时，并不能保证门-0。因 此，不能把7-0随便的改为”→+（除非T是等分分制这种特殊情形）。 三、用定积分定义证明与计算定积分 定积分的定义己经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但 比较复杂。若己知函数)在[a,b]上可积，由于积分和极限的唯一性，不管 [a,b]的什么分制，只要IIT→0，也不管点集号，如何选取，气∈(xx). 这样，可作[a,b]的一个特殊分割T(如等分分割等)，在[x-,x,上选取特殊 的5（如取5为小的左端点，右端点，中点等），作出积分和，然后取极 6《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 注 4： 定积分的物理意义。从物理角度看，定积分 f x dx a b ( )  表示变力 f (x) 使质点沿 x 轴由点 a 移动到 b 时所作的功。 定积分的几何意义与物理意义实际上给出了定积分的两个简单而重要的应 用。同时了解定积分的几何意义，对理解定积分的许多性质及其证明方法大有帮 助。 注 5： 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数ƒ和积分区间[ a,b ] 有关，而与积分变量所有的符号无关，即  =  =  f  d =  a b f t dt a b f x dx a b ( ) ( ) ( ) ， 这一点与不定积分不同，因不定积分与积分变量的选取有关，不允许随便改写积 分变量。 注 6： 分割 T 的细度 T →0 表示分割 T 越来越细的极限过程，此时分点个 数 n 也越来越多，即 n → + ；但反过来，当 n → + 时，并不能保证 T →0。因 此，不能把 T →0 随便的改为 n → +( 除非 T 是等分分割这种特殊情形）。 三、用定积分定义证明与计算定积分 定积分的定义已经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但 比较复杂。若已知函数 f (x) 在[a，b]上可积，由于积分和极限的唯一性，不管 [a，b]的什么分割，只要 IITII → 0，也不管点集  i  如何选取， ( , ) i i 1 i x x   − 。 这样，可作[a，b]的一个特殊分割 T（如等分分割等），在[ , ] i 1 i x x − 上选取特殊 的 i  （如取 i  为 [ , ] i 1 i x x − 的左端点，右端点，中点等），作出积分和，然后取极