《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 限，便得到∫在[a,上的定积分 例1、求在区间[0,1]上，以抛物残y=x2为曲边的曲边三角形的面积（图 9-5)。 解：由注3知，因2在0,1上连线，故所求面积为s=册三54 为求得此极限，在定积分存在的前提下，允许选择特殊分割： n n'n],i=l、2、ng 斯空分空-典“ 6n3 者，则斯a山-月 6n3 当然我们也可以用定积分的6一δ定义证明某些特殊数在闭区间上的定积分。 例2、已知函数)1+云在区间[0，山上可积，用定义求积分 J1+x2 解： 取”等分区间[0，山作为分法T,△日，取 5==片，1≤1m.有 夕11 d次 上式最后的极限求不出来，但却表明该极限值就是积分}+示 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 限，便得到 f 在 [a,b] 上的定积分。 例 1、 求在区间[0，1]上，以抛物残 y=x2 为曲边的曲边三角形的面积（图 9-5）。 解：由注 3 知，因 y=x2 在[0，1]上连续，故所求面积为 S= i n T i i  x dx =  x =1 2 1 0 2 lim  ， 为求得此极限,在定积分存在的前提下，允许选择特殊分割: ,1 , 1 , 2 , 1 0,       − = n n n n T 特殊点 n i n i n i i , 1 [ 1 −  −  = ]，i=1、2、.n。 则有 S= = → n i n 1 lim n n i 1 ) . 1 ( − 2 = n→ lim 3 1 n = n i 1 2 (i −1) = n→ lim 3 6 ( 1) (2 1) n n − n n − = 3 1 . 若取 i  = n i ，则有 S= n→ lim 3 1 6 ( 1)(2 1) 3 = + + n n n n 当然我们也可以用定积分的  − 定义证明某些特殊数在闭区间上的定积分。 例 2、已知函数 f (x) 2 1 1 + x = 在区间 [ 0 ,1] 上可积 , 用定义求积分  + 1 0 2 1 x dx . 解 ： 取 n 等 分 区 间 [ 0 , 1 ] 作为分法 T , 1 i x n  = . 取 , i i i x n  = = (1  i  n) .有  + 1 0 2 1 x dx → = n lim =        + n i n n 1 i 2 1 1 1 → = n lim = + n i n i n 1 2 2 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分  + 1 0 2 1 x dx