《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例3、 试证心达=b-a 证：由于被积函数()=1，对于区间血月的任意分法 △： X=a<x<x<<x<=b 及任取的5=}（金，k=12,”,有积分和 54)=2a)2 (-x)+(x-x)++(-xn)=x-=b-a 令 ,Sa,) -a) 这里d(a)=max{A,A,.,A},即 ∫ik=b-a 例4、 试证.cos迹=sb-sina 证：对于取间血，)的任意分法 △：=a<x<x<<xn=b 及任取的5=5，注意到 S(A.g)-(sinb-sina)=cos5Ax-(sinb-sina)- k 2oi5A-立csa (利用微分学中值定理，员小)= 含(easi-cosa《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 例 3、 试证 1 b a dx b a = −  。 证： 由于被积函数 f x( ) 1 ，对于区间 a b,  的任意分法 : 0 1 2 1 n n x a x x x x b =      = − 及任取的 { }k   = （ 1 [ , ] k k k  x x  − ， k n =1, 2, , ），有积分和 S ( = , ) ( ) 1 n k k k f x  =   1 n k k x = =  =  1 0 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n x x x x x x x x b a − + − + + − = − = − − 且 ( ) ( ) 0 lim , d S   →  = ( ) 0 1 lim ( ) n d k b a  → =  − 这里 d x x x ( =    ) max , , ,  1 2 n ，即 b a dx b a = −  例 4、 试证 cos sin sin b a xdx b a = −  。 证： 对于取间 a b,  的任意分法 : 0 1 2 n x a x x x b =     = 及任取的 { }k   = ，注意到 ( ) 1 , (sin sin ) cos (sin sin ) n k k k S b a x b a   =  − − =  − − =  1 1 cos (sin sin ) n k k k k k  x x x − =   − − = 1 1 cos cos n n k k k k k k   x x = =    −  （利用微分学中值定理， 1 [ , ] k k k  x x −   ）= 1 (cos cos ) n k k k k   x =  −  = 