《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆 面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用 类似的方法，即借助于己已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。 具体做法如下（图9-2）： 1°分制。在区间[a,b]内任取m-1个分点，依次为a=xo<x1<<x n-1<xn=b,这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi-l,xi],il,2,n: 再用直线x=xi,i,2n-1,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。记Si为第 1个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积S=S 2°近似求和。在每个小区间[]上任取一点，作以传)为高， [x-]为底的小矩形。当分割[a,b]的分点较多又分割的较细时，可用第i个 小矩形的面积()A,近似代替第i个小曲边梯形的面积S,即 S,≈f传)△x,(问为什么？) 于是这个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积S的近似值，即 S=S≈8f5)Ax,(△=x-x,-1) (1) 3°取极限。我们注意到(1)式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（△）， 又与所选中间点：(i1、2、.、n)有关(，)。可以看出，将[a,b]逐 次分下去，使小区间的长度△，→小，则不论5如何选取，n个小矩形面积之和 昌f八G,)4越接近于S,而在任何有限过程中，n个小矩形面积之和昌八)A 总是曲边梯形面积$的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能过渡到曲 边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a,b]无限细分时，若此和式与某 一常数无限接近，而且与分点和中间点i的选取无关，则把此常数作为曲边梯 形的面积S。 实例2变力所做的功 设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到b,并设F处处平行x轴（图9-3）。《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆 面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用 类似的方法，即借助于已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。 具体做法如下（图 9-2）： 1°分割。在区间[a，b]内任取 n-1 个分点，依次为 a=χo＜χ1＜.＜χ n-1＜χn=b，这些点把[a，b]分割成 n 个小区间[χi-1,χi]，i=1，2，.n； 再用直线χ=χi,i=1,2.n-1，把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。记 Si 为第 i 个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积  = = n i S Si 1 。 2°近似求和。在每个小区间[ i i x , x −1 ]上任取一点 i  ，作以 ( )i f  为高， [ i i x , x −1 ]为底的小矩形。当分割[a，b]的分点较多又分割的较细时，可用第 i 个 小 矩 形 的 面 积 f ( i ) i x 近似代替第 i 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 i S ， 即 i i i S  f ( )x （问为什么？） 于是这 n 个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积 S 的近似值，即   = = =   n i n i i i i S S f x 1 1 ( ) （  = − i −1 x x x i i ） （1） 3°取极限。我们注意到（1）式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（ i x ）， 又与所选中间点 i  （i=1、2、.、n）有关（ ( ) i f  ）。可以看出，将[a，b]逐 次分下去，使小区间的长度 xi → 小，则不论 i  如何选取，n 个小矩形面积之和  = n i 1 i i f ( )x 越接近于 S，而在任何有限过程中，n 个小矩形面积之和  = n i 1 i i f ( )x 总是曲边梯形面积 S 的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能过渡到曲 边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a，b]无限细分时，若此和式与某 一常数无限接近，而且与分点 i x 和中间点 i  的选取无关，则把此常数作为曲边梯 形的面积 S。 实例 2 变力所做的功 设质点受力 F 的作用沿χ轴由点 a 移动到 b，并设 F 处处平行χ轴（图 9-3）