Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU (m-1)d [证明]如果z=b是∫(x)的m阶极点,则在这点的邻域内罗朗级数是 f()=n+m+…=∑a(=-)(am≠0) (=-b)"f()=an+an(=-b)+…+a1(z-b)+… [(-b(小=∑a=[ =∑(k+m)(k+m-1)(k+2)a(=-b) 取极限→b后右端只留下k=-1项,即(m-1)a1.所以 lna-b(4小 Resf(b)=a. (m-1)=- d-m-I (4)单阶极点( Simple pole)当m=1时,b为单极点Resf(b)=lmn[(-b)/(=) 特别地,如果()可以写成F(的形式,其中P()和Q()均在b点解 Q(=) 析,而且z=b为Q()的一阶零点,即Q(x)=0,Q()≠0,P()≠0,那么 Rs/b)le-b)()=l(-b)P2|me= (5)根据定义:Ry(b)=n求f()c,其中c为绕z=b一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点,积分{沿正(沿奇点的反)方向进行。 5.例题( Examples) Example 1.求函数f(x)=在z=0,z=1,=∞点的留数。 [解]二=0,1,∞分别是本性奇点,一阶奇点和一阶零点Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 4 则 ( ) (z b) f (z) m z f b m m m z b − − = − − → 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . [证明]: 如果 z = b 是 f (z) 的 m 阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) 1 1 + = −  − + − = −  =− − − − +  m k m k m k m m m a z b a z b a z b a f z  , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , m m m m z b f z a a z b a z b − −  = + − + + − + − − + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 d d ( ) d d 1 2 . m m m k m m m k k m k k k z b f z a z b z z k m k m k a z b − −  + − − = −  + = −     − = −     = + + − + −   取极限 z →b 后右端只留下 k = −1 项，即 ( ) 1 1! m − a− . 所以 ( ) (z b) f (z) m z f b a m m m z b − − = = − − → − 1 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . (4) 单阶极点(Simple pole): 当 m =1 时,b 为单极点 f b (z b)f (z) z b = − → Res ( ) lim . 特别地，如果 f (z) 可以写成 ( ) ( ) Q z P z 的形式，其中 P z( ) 和 Q z( ) 均在 b 点解 析，而且 z b = 为 Q z( ) 的一阶零点，即 Q z( ) 0, = Q z P z '( ) 0, ( ) 0,   那么 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) Res ( ) lim lim Q b P b z b Q z Q b P z Q z P z f b z b f z z b z b z b z b = − − =      = − = − → → → . （5）根据定义： ( ) 1 Res ( ) d 2 c f b f z z i =  ，其中 c 为绕 z = b 一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点，积分 c 沿正(沿奇点的反)方向进行。 5. 例题（Examples） Example 1. 求函数 z e f z z − = 1 ( ) 1 在 z = 0， z = 1， z =  点的留数。 [解] z =  0,1, 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点