Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 法一( Expand to the Laurent series): ①z=0是f()的本性奇点,因此,将f()在z=0的邻域作罗朗级数展开 1+z+z2+z3+… z2!23!z3 2!3! Resf(0)=1++n+…=e-1.[e=、andz=ll ②设e= <(z-1)并且c=e(其余的cn虽然复杂,但是我们用不到,则 f(=) 故Resf()=aL1=-c0=-e ③Resf(0)+Resf(1)+Resf(∞)=0(全复平面留数之和为零) Resf(∞)=1 法二( Formula): ①z=1是f(z)的一阶极点,因此 Rest()=limI( ②将f()在z=∞的邻域作罗朗级数展开 ()=、1 1+-+一+-+ z2!223!z3 Resf(∞)=-(-1)=1Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 5 法一（Expand to the Laurent series）： ① z = 0 是 f (z) 的本性奇点，因此，将 f (z) 在 z = 0 的邻域作罗朗级数展开 ( ) 2 3 2 3 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 2! 3! 1 1 1 1 , 2! 3! f z z z z z z z z   = + + + + + + + +       = + + + + +     1 3! 1 2! 1 Resf (0) = 1+ + + = e − . 0 1 [ and 1] ! z n n e z z n  = = =  ② 设 1 0 ( 1) z n n n e c z  = = −  并且 0 c e = （其余的 n c 虽然复杂，但是我们用不到），则 1 0 1 ( ) ( 1) . 1 1 z n n n e f z c z z z  = = = − − − −  故 Res (1) . 1 0 f a c e = = − = − − ③ Res (0) Res (1) Res ( ) 0 f f f + +  = （全复平面留数之和为零）。 Res ( ) 1. f  = 法二（Formula）： ① z = 1 是 f (z) 的一阶极点，因此 ( ) 1 1 Res (1) lim 1 . 1 z z e f z e → z     = − = −   −     ② 将 f (z) 在 z =  的邻域作罗朗级数展开 1 / 2 3 2 3 1 1 ( ) 1 1/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! 1 ( 1) , z f z e z z z z z z z z z z = − −     = + + + + − + + + +         = + − + Resf () = −(−1) = 1