Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU Example2.求函数f() 在z=1点的留数。 [解一] (=-1)+(=-)+(=-) ee Rest() 4!24 [解二]z=1是f()的五阶极点,因此 Ref(1) -lur lim 4!=→1d424 (X) Example3.求函数f()=xl 在z=i点的留数 [解]2+1=(z-(x+1),z=±是f()的三阶极点,因此 Resf()=3,lim(=-i) (X) Example4.求函数f(x)=2 的留数 解]z=-1是f(x)的三阶极点,z=∞是本性奇点,因此 Resf(-1=lim 2二|=1=2sin2 Resf(∞)=-2in2 (X) Example5.求函数f()=-在z=n丌(n为整数)的留数。 解一]二=n是f()的单极点,因此 Rest(nr)=lim (=-nz 解二]Resf(nr) Example 6. Find the residue of(sin =)(-=)at ==i 6Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 6 Example 2. 求函数 ( ) 5 1 ( ) − = z e f z z 在 z = 1 点的留数。 [解一] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 234 1 555 1 1 1 ( ) 1 1 , 111 2! 3! 4! z z e e e e z z z f z z zzz  −   − − − = = = + − + + + +   −−−     Res (1) . 4! 24 e e f = = [解二] z = 1 是 f (z) 的五阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 5 1 4 5 5 1 4 5 1 1 1 d 1 d Res (1) lim 1 lim . 5 1 ! d 4! d 24 1 z z z z e e e f z z z z − → → −   = − = =   −   −   （X）Example 3. 求函数 ( ) 3 2 1 1 ( ) + = z f z 在 z i = 点的留数。 [解] 2 z z i z i + = − + 1 ( )( ), z i = 是 f (z) 的三阶极点，因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 2 1 d 1 1 d 1 3 Res ( ) lim . 2! d 2 d 16 1 z i z i i f i z i z z z z i → =     = − = = −       +   +     （X）Example 4. 求函数 ( ) 3 sin 2 ( ) 1 z f z z = + 的留数。 [解] z =−1 是 f (z) 的三阶极点， z = 是本性奇点，因此 2 2 1 1 1 d Res ( 1) lim sin 2 2sin 2 | 2sin 2. 2! d z z f z z z = − →− − = = − = Res ( ) 2sin 2. f  = − （X）Example5. 求函数 z f z sin 1 ( ) = 在 z = n ( n 为整数)的留数。 [解一] z = n 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' Res ( ) lim lim 1 . sin sin ' n z n z n z n f n z n z z      → →   − = − = = −     [解二] ( ) ( ) 1 1 Res ( ) 1 . sin ' cos n z n z n f n z z    = = = = = − Example 6. Find the residue of ( ) ( ) 4 sin z / 1− z at z i =