Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU [解一]z=i是f(x)的单极点,因此 sln二 sin二 sInI Resf(i=lim(=-. m -e e-e sinh(i) (21)(4)8 解二]Resf(1)= sln二 sIn -sinh(D) Example7.求函数f()=;x(实常数m≠0)的留数 [解]〓=土i是∫(x)的一阶极点,z=∞是本性奇点(高振荡),因此 Ref(i Rest(i=- Resf(oo)=-Resfi)+resfcdl=(e-e)=-isinh m (X) Example8.求函数f()=(=2-1)2 (cB=1,a≠B)的留数 (二-a)(二-B) [解]〓=α,β是∫()的一阶极点,z=0是二阶极点,f(∞)=1解析,因此 Rest(a) x(a-B) a-B B (二-B z2-1)2 Rest(e) Resf(0)是=2()在二=0附近 Taylor展式中的一次项a1的系数a1 二f(=) (=-a)(=-B) B B (1++…)--(1+-+…) Rest(o) a-八(-a2=a+B,(放心取(x2-1项=0) Resf(oo)=-Resf(a)+Resf(b)+ ref(o]=-(a+BMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i = 是 f (z) 的单极点，因此 ( ) ( )( ) 4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i → → − −   = − = =     − − + − − = = = [解二] ( ) 3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z = = = = = =  − − − Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z = + (实常数 m  0 )的留数。 [解] z =i 是 f (z) 的一阶极点， z = 是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i − = = − = = = =− + − − Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m −  = − + − = − = − (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z   − = − − (    =  1, )的留数。 [解] z = , 是 f (z) 的一阶极点， z = 0 是二阶极点， f ( ) 1  = 解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z              = − − − = = = = − − − − 2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z      = − = = − − Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z = 0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                   − −   = = −   − − − − −   − −         = + + − + + = − + − +         − −         2 2 1 1 1 Res (0) ; f          = − = +   −   (放心取 2 2 ( 1) z − 项 z = 0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f  = − + + = − +    