Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorems application to the definite integral calculations) A.基本思路与方法 目标:为了计算实函数f(x)在整个实轴上或实轴上某一线段I 上的积分[f(xudx,可分为以下三个步骤(方法) 将∫(x)看作复变函数∫()当二=x的特殊情况,即将∫(x)延 拓至复平面F()(f()和F()之间有千丝万缕的关系 2.将实积分路径改变为复平面闭曲线,其内部为D—一或做变 换,将ab变为闭曲线,或补一段bM使其成为闭曲线 3.在D上对F(z)或∫(z)应用留数定理计算闭路上的积分,这样就把实轴上 (x)的积分转化为计算/(在D内奇点的留数以及[f(=)d了。即 ∫(xkx+⊥(=手/(k=2m∑Re(=) f(=)d=?(see the Lemma 1, 2 and 3 below) B.基本类型 广R( sin x, cosx)t,其中Rmnx.o)是 sin x, cosx的有理式 方法:作单位园变换z=e",x∈0,2z],即将0~2的直线路径变为单位圆 周F=1路径。并且smx=2 costs dx=-ds 2-二2+二 Inx. cos x R 令F() 那么 ∫R( nx, cos xpx=2x∑ResF Example 1.I=5sin2xdrMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 8 二、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorem’s application to the definite integral calculations) A. 基本思路与方法： 目标：为了计算实函数 f (x) 在整个实轴上或实轴上某一线段 I 上的积分  b a f (x)dx ，可分为以下三个步骤（方法）： 1．将 f (x) 看作复变函数 f (z) 当 z = x 的特殊情况，即将 f (x) 延 拓至复平面 F z( ) ( f (z) 和 F z( ) 之间有千丝万缕的关系)。 2．将实积分路径改变为复平面闭曲线，其内部为 D——或做变 换，将 ab 变为闭曲线，或补一段 bMa 使其成为闭曲线。 3． 在 D 上对 F z( ) 或 f (z) 应用留数定理计算闭路上的积分，这样就把实轴上 f (x) 的积分转化为计算 f (z) 在 D 内奇点的留数以及 bMa f (z)dz 了。即 b a bMa ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). j l j    f x x f z z f z z i f z + = =   bMa Key : ( )d ? ( f z z =  see the Lemma 1,2 and 3 below) B. 基本类型: 1. R(sin x, cos x)dx 2 0  ，其中 R(sin x, cos x) 是 sin x, cos x 的有理式。 方法：作单位园变换 ix z = e ，x0,2，即将 0 ~ 2 的直线路径变为单位圆 周 z = 1 路径。并且 1 1 1 sin , cos , d d 2 2 z z z z x x x z i iz − − − + = = = ，则 ( ) 1 1 2 0 1 1 sin ,cos d , d z 2 2 z z z z R x x x R z i iz  − − =   − + =       . 令 1 1 1 ( ) , 2 2 z z z z F z R iz i − −   − + =     ，那么 ( ) 2 0 z 1 R x x x i F z sin ,cos d 2 Res ( )     =  . Example 1. I sin xdx 0 2  = 