Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 解一]1=「2-cos(2x)=x.(简单!) [解二] Ⅰ: dz 22i)g 8i 丌 (2i) R (2zi) Example 2. I dx (a>b>0) a+bcos x 2bi +b 2bi二2(=-=) b 二= b [韦大定理:Ax2+Bx+C=0的两个根x1,x2满足xx2=C/A,x1+x2=-B/A] 在单位圆(<1)内F()有两个孤立奇点=0(二阶奇点,z=1(一阶奇点) z=2(一阶奇点)在单位圆(>1外。因此,我们有 ResF(O)=lim d [=F()] 计算1 (=1+=2) ib ResF()=im[(=-=)F()] 2bi =2[ResF(0)+ResF(=1)=2/-1 2丌 2=1=b2 b 261 三个引理: 引理1(大圆弧引理如果f(=)在区域D:Rs-<∞,B1≤arg(z-a)≤B 上连续,且当z(z∈D)→>∞时,(z-a)f()一致地趋于K,简记为(z-a)f(z)→K, 则m[f()d=K(2-2),其中C是以a为圆心,R为半径,夹角为B2-的 圆弧,-d=R≤amg(=-a)≤BMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0   = − =  x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i      − − = = =   − − = = = −           − = − − − =                展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2   + =   x a b x x I . [解] ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b − −   −   − −   = = − = − +   − − +   + +   , 其 中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b − + − − − − = = 1 2 z z =1. [韦大定理: 2 Ax Bx C + + = 0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A = + = − / , / ]. 在单位圆 (z 1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z = 0 （二阶奇点）， 1 z = z （一阶奇点）。 2 z z = （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有 ( ) 2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z → z bi ib = = − + =     计算 ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b → bi b = − = − − = −     计算   ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b      =  + = −  = − −     三个引理： 引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z − a  ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z( D)  →  时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K −  则 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a R z a − =  −  , arg( ) .  