Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 证明:因为=1(2-),所以 f()dz-iK(82-8 f(二) .(=-a)(=)-k s』(=-a)f()-k 由于当≤argx-a)≤B2,z→时,(z-a)f()一致地趋于K,这意味着任 给E>0,存在[与agz-a)无关,D内各向同性的]M(c)>0,使当-al=R>M 时,(=a)f()-<6,所以[知d-(2-)<(2-8)(-a=Re”大 模之比R/R=1,仅仅积分相位即可),即m[f()d=(2-9)(方向正向)。 引理2(小圆弧引理):若函数f()在区域D:0<-d≤r, ≤arg(=-a)≤B2上连续,且当x(二∈D)→a时,(=-a)f()一致地趋于k, 则imnf(c)d=i(2-),其中C是以a为圆心,r为半径,夹角为B2-B的 圆弧,|-d=r,O≤arg(二-a)≤B 证明:因为 {n(r,9)=|z"d 1](=B2-1,N=±1,+2,…) 1(r,q)=ig,lar=(0,∞),q≠2mN/(n+1)]=(0,∞),r→>0小圆弧引理; ln:(r,2)=0,l2{r=(0,)q≠2xN/(n+1=(∞,0),r→∞大圆弧引理。 亦即,高阶极点的一段圆弧的积分发散,而整个圆弧的回路积分为零:或者说, 虽然复平面是各向同性的,但是积分值与相对位相差相关}所以 f()d-ik(2-6 k f(=)- (2-a)f(-)-k) d ≤(z-a)f(-)-k 由于当a≤arg(z-a)≤O2,z→>a时,(x-a)f(x)一致地趋于k,这意味着任给Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 10 证明：因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z CR ，所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a     − − = −     − = − − −  − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 K ，这意味着任 给   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关，D 内各向同性的] M ( )  0 ，使当 z a R M − =  时， (z − a) f (z) − K   ，所以 ( ) ( ) d 2 1 2 1 ( ) −  −    − CR f z z iK （ , i z a Re  − = 大 模之比 R R/ 1= ，仅仅积分相位即可），即 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR （方向正向）。 引 理 2(小 圆 弧 引 理 ) ：若函数 f (z) 在 区 域 D ： 0  z − a  r ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z a ( D)  → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ， 则 ( 2 1 ) 0 lim ( )d Cr r f z z ik   → = −  ，其中 Cr 是以 a 为圆心， r 为半径，夹角为  2 −1 的 圆弧， 1 2 z a r z a − =  −  , arg( ) .   证明: 因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z Cr ， ( ) 1 ( 1) 0 1 ( 1) 2 1 { ( , ) d d [ 1], , 1, 2, 1 i r z re n n i n n c n i n I r z z ir e r e N n          = + + + + = = = −  − =   +   1 I r i − ( , ) ;   = 0 [ (0, ), 2 / ( 1)] (0, ), n I r N n  =   + =    r →0 小圆弧引理； -1( ,2 ) 0; n I r   = -2[ (0, ), 2 / ( 1)] ( ,0), n I r N n  =   + =    r → 大圆弧引理。 亦即，高阶极点的一段圆弧的积分发散，而整个圆弧的回路积分为零；或者说， 虽然复平面是各向同性的，但是积分值与相对位相差相关} 所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d d = ( ) ( ) ( ) ( ) . r r r r C C C C k f z z ik f z z z a z z z a f z k z a f z k z a z a     − − = −     − − −  − − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ， z →a 时， (z − a) f (z) 一致地趋于 k ，这意味着任给