Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU E>0,存在[与arg-a)无关,D内各向同性的]p()>0,使当-d=r<p时, =a/)-<,所以[/((2-9)2(4)(=-0=,小模之 比r/r=1,仅仅积分相位即可),即 im[f()=ik(2-B)(方向为正向) 引理3( Jordan引理):当z→∞(0≤argz≤x,即Imz≥0)时,f(=)→0(此 限制条件为一致地趋于0,仅仅存在解析部分),则lm[f(x2kmdz=0 (实常数m>0),其中C是以原点为圆心,半径为R的上半 圆周即z=Re"(0≤0<x) 证明:由于当0≤argz≤x,z→∞时,f(x)一致地趋于0 这意味着任给E>0,存在(与argz无关的,D内各向同性 的)M()>0,使当|=R>M时,()<E.据此,令 =Re(0≤≤x),有Note:1)|em°=1.2)请检查 是否满足条件,否则积分不存在或者重新补积分回路] f(二) ds sev() mksm d1=S'I/(@)le wksmoRde <ER「emdO=26R[ e-mRsined 由右图可见,当0≤0≤x/2时,有0≤-6≤sin (x:2449(--)<n /260/x (m>0)这样,就证明了lm[f(xkdz=0 2.f(x)dx 条件:(1)由f(x)唯一确定的函数f()除在上半平面(Imz>0)只有有限个奇 点{}=b,b2…,b以及在实轴上最多有有限个单阶极点 {a}=a,a2…,an以外是解析函数 11Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 11   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关，D 内各向同性的] ( )  0 ，使当 z − a = r   时， ( ) ( ) z a f z k − −   ，所以 ( )d ( 2 1 2 1 ) ( ) Cr f z z ik − −  −       （ , i z a re  − = 小模之 比 r/r =1 ，仅仅积分相位即可），即 ( 2 1 ) 0 lim ( )d Cr r f z z ik   → = −  （方向为正向）。 引理 3 (Jordan 引理)：当 z → (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z)  0 (此 限 制 条件为一致 地趋 于 0 ， 仅仅 存 在 解 析 部分 ), 则 lim ( ) d = 0  → f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半 圆周,即 e (0 ). i z R  =     证明：由于当 0  arg z   ，z → 时， f (z) 一致地趋于 0， 这意味着任给   0 ，存在（与 arg z 无关的，D 内各向同性 的） M ( )  0 ，使当 z = R  M 时， f (z)   .据此，令 e 0( ) i z R  =     ，有 [Note：1). cos | | 1. imR e  = 2). 请检查 是否满足条件，否则积分不存在或者重新补积分回路] cos sin sin sin 0 sin sin 2 0 0 ( ) d ( ) d ( ) d d 2 d . R R z R iR imz mR mR C C mR mR f z e z f z e z f z e R R e R e               = + − − − −  =  =      由右图可见，当 0    / 2 时，有    sin 2 0   . ( ) 2 2 0 ( ) d 2 d 1 . R mR imz mR C f z e z R e e m m          − −  = −    ( m  0 ) 这样，就证明了 lim ( ) d = 0  → f z e z imz R CR . 2．   - f (x)dx 条件：(1)由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Im z  0) 只有有限个奇 点 1 2 { } , , , k N b b b b = 以 及 在 实 轴 上 最 多 有 有 限 个 单 阶 极 点 1 2 { } , , j n a a a a = ， 以外是解析函数；