Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU (2)在实轴和上半平面内(0≤arg=≤x),当z→∞时,()一致地趋 于零,简记为f()→0 结论:∫f(x)x=2m∑Rey(b)+mi Rest(a,) k=l(上半平面内) 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆周C(=R) 求2f(c)d=0/xdx+[.f( 2ri∑Resf(b2) 因为m∫f(z)=0,根据大圆弧引理, nL.()d=0.于是,取极限R→就得到厂xx=2Re(h) k=l(上半平面) (2)实轴上存在一阶极点的情况 设f()在实轴上有单极点二=c,我们 所取路径必须绕过c点。以c点为圆心 充分小r为半径的半圆周C,如图所示 将c点挖去,则 f /(d== f(r) dx+S f(=x+ f(x)dx+f(=ds 2z/∑Res(b) 当取两个极限R→∞,r>0时,我们有, [C/)+(x)-上(x im()=0,由引理1,m[f()d=0 由于z=c是单阶极点,所以Resf()=lim(z-c)f()由引理2(注意积 分方向)我们得到Im」(=- Ti Rest(=)n(相位差,幅角变化0-z) 因此,f(x)dx=2i Rest(b)+i Rest(c)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 12 (2) 在实轴和上半平面内 (0  arg z   ) ，当 z → 时， zf (z) 一致地趋 于零，简记为 zf (z)  0 . 结论： - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a     = =  = +   上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以− R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆周 C (z R) R = : 1( ) ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). R R C R C N k k c f z z f x x f z z i f b − = = + =     内 因为 lim ( ) = 0 → zf z z ，根据大圆弧引理,  = R→ CR lim f (z)dz 0. 于是，取极限 R → 就得到 - k 1( ) ( )d 2 Res ( ). N k f x x i f b    =  =  上半平面 （2）实轴上存在一阶极点的情况。 设 f (z) 在实轴上有单极点 z = c ，我们 所取路径必须绕过 c 点。以 c 点为圆心， 充分小 r 为半径的半圆周 Cr ，如图所示 将 c 点挖去，则 k 1(c ) ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d = 2 Res ( ). r R c r R C R C c r C N k f z z f x x f z z f x x f z z i f b − − + = = + + +       又 内 当取两个极限 R → ,r → 0 时，我们有，     + − − → − =     f x x + f x x f x x R c r c r R R lim ( )d ( )d ( )d ， lim ( ) = 0 → zf z z  ，由引理 1， lim ( )d = 0  → f z z R CR . 由于 z = c 是单阶极点，所以 Res ( ) lim( ) ( ). z c z c f z z c f z = → = − 由引理 2（注意积 分方向），我们得到 0 lim ( )d Res ( ) r C z c r f z z i f z  → = = −  （相位差，幅角变化 0− ）. 因此， - 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N k k f x x i f b i f c     =  = +  上半平面内