Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 如果实轴上存在有限个单阶极点,则 f(x)dx= 2Ti Rey(2)+i∑Resf(a 自证:如果将实轴上单极点包含在回路内,则 in「f()d=(2x-)Resf()-,但在回路内多了 r→0 im。f()d=2zRes(-结果相同 Exm计算.+15 解一]令x=nO,则=m"d0=(简单!) 解三:1=x+1+ dz 2i·Resf()=2zi:=丌 2+1 (二=-在下半平面)。取极限R→∞,因为im-2,=0,根据引理1,所以 dz 于是得到,=5f(x)x= x)Eap2计算积分/=,其中n为正整数 [解]唯一孤立奇点z=i(n+1阶极点,Imz>0) 2ri·Resf() (2m)! 2(n!) (-1)(n+1)(n+2)…(2n)1(n+1)(n+2)…(2 2i 2i22n! 取极限R→∞,因为f(x)连续且imz =0,所以,根据引理1, dz 0.因此1= dr (2m) Example3.计算积分I= x(x+1)x2+) (如图严格相互抵消,因而有值) 13Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 13 如果实轴上存在有限个单阶极点，则 - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a     = =  = +   上半平面内 复平面实轴上 自证：如果将实轴上单极点包含在回路内，则 0 lim ( )d (2 ) Res ( ) , r C z c r f z z i f z   → − = = −  但在回路内多了 0 lim ( )d 2 Res ( ) . r C z c r f z z i f z  → = =  结果相同。 Example 1. 计算积分    −  + = + = 1 d 2 1 1 d 2 0 2 x x x x I . [解一] 令 x = tan ，则 / 2 0 d . 2 I   = =   (简单！) [解二] 2 2 2 d d d 1 2 Res (i) 2 1 1 1 2 R R C R C z x z i f i z x z i    − = + =  =  = + + +    ( z i =− 在下半平面)。取极限 R → ，因为 0 1 1 lim 2 = → z + z z ，根据引理 1，所以 0 1 d 2 = + CR z z . 于是得到， . 2 ( )d 2 1  = =   − I f x x (X) Example 2. 计算积分 ( )   − + + = 1 2 1 d n x x I , 其中 n 为正整数。 [解] 唯一孤立奇点 z i = ( n+1 阶极点， Im 0) z  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 d d d 2 Res ( ) 1 1 1 1 d 1 (2 )! 2 , ! d 2 ( !) R R n n n C R C n n n n z i z x z i f i z x z n i n z n z i    + + + − + = = + =  + + +   =  =     +      ( ) 1 2 1 2 2 d 1 ( 1) ( 1)( 2) (2 ) 1 ( 1)( 2) (2 ) 1 (2 )! . d (2 ) 2 2 2 2 ! n n n n n n n z i n n n n n n n z i i i n z i + + =   − + + + +   = = =   +   取极限 R → ，因为 f z( ) 连续且 ( ) 0 1 1 lim 1 2 = + + → n z z z ，所以，根据引理 1， ( ) 0 1 d 1 2 = +  + CR n z z . 因此 ( )  1 2 2 2 2 ( !) (2 )! 1 d n n x x I n n = + =   − + . Example 3. 计算积分 ( )( )   − + + = 1 1 d 2 x x x x I . (如图严格相互抵消，因而有值)