12第I部分数值分析 ag=ag2+m2·a号，(i,j=3,…,n) 69=62+ma·b2,(i=3,…,n). 依次下去，…，一直做到第n一1，即 Ta a … ati a 6 0 a a21 a 2 … (2-4) a”-1 a Cx-1 b” 0 0 2)回代过程 若a侧卡0，我们可以从式(2-4)逐次回代计算出方程式(2-2)的解 =bm la z,=(-,Ao0x,/,=m-1,…2,1D. 如果在消元过程的第一步中，a=0,由于矩阵A非奇，所以在A的第一列中至 少有一个元素牛0，于是可以通过对方程两边进行第一行与第行的行交换，将 a:调到方程式(21)位置，然后消元计算.同理，对以后各步都可以进行这样的行交 换，以使a经，g,…,“-均不为零，最后，由A的非奇异性得到a亦不为零.■ 纵观算法2.1，我们得到： 定理2.1如果方程组(2-2)的系数矩阵A为非奇，则它可以通过Gauss消去法 (即：算法2.1)进行求解 下面，我们分析在消元过程中不需进行行交换的Guss消去法的乘除运算工作 量： 1)消元过程的计算是，在第k步的消元中，对矩阵消元需作(n一)次除法运算 (n一k)2次乘法运算，对右端需作（一）次乘法运算，于是，总的消元过程乘除法运 算量为： 2(m-)+n-2+(m-)=号r+z0-吾m 2)回代过程的计算是，计算每个x:需作(n一)次乘运算，于是总的回代过程乘 除法运算量为 (m-)=7n(n+1).12 分 数值分析 (3) _ ..(2) I (2) ""==GZJ • a2j- , (i ,j = 3 ,… ,n ) by)=bj2} • b;2) , (i = 3 ,… ,n ) . 依次下去，……，一直做到第 ，即 (I) (1) (1) (1) all a r bi!) l2 •• • 1， 11 a l n XI O (2) (2) (2 ) X 2 b~2) α22 ... a 2.11一1 2 n 2 • • • • • • • • • • • • • • (2-4) • • • • • • • • • (n (n-I) b{n-1> • • an 1， l a n- I •n X n- 1 • • n-I O O (n) X .., ... n b~n) nn " 2) 代过程 我们 可 方程式 X n =b~n) n zb=(bf>-EGf)Zz)/ar , s=k+1 (k=n-l ,… , 2 , 1) . 如果在消元过程的第一步中， 0，由于矩阵 A非奇，所以在 (I)的第一列中至 少有一个元素气， 对方 边进行 第il I调到方程式 )位置，然后消元计算.同理，对以后各步都可以进行这样的行交 换，以使 2， }，… 1均不为零.最后，由 A的非奇异性得到心)亦不为零 • 纵观算法 我们 定理 果方 的 系 s s (即:算法 1)进行求解. • 下面，我们分析在消元过程中不需进行行交换的 运 算 量: 1)消元过程的计算是，在第 法运 Cn-k)2 次乘法运算 对右 乘法 的 消 过程 法运 算量为: n 5-6 n 1-2 n -TI"2 l-3 n 'R n , R + 2) 代过 算每 次乘 总 的 代 过程乘 除法运算量为 2;(n-h)=÷n( 1)