3.5关于M/G/∞系统的注记 M/G/∞系统与M/G/1系统的唯一不同是,M/G/∞系统有∞条服务线,进入系 统的每个顾客可以随机地选取一条服务线.而各服务线的服务时间仍是服从分布函数G(t) 的独立同分布随机变量,且与输入流彼此独立.为了在数学上简单些,我们仍假定G(1)有 密度g(1) 我们来考虑M/G/∞系统的输出(顾客)流.由于有∞条服务线,进入系统的顾客立刻 得到服务,顾客进入后,在经过时间t以前离开的概率就是服务时间不大于t的概率,即是 G(t).若我们把离开与还在接受服务看成顾客流的随机分流,那么这个分流的概率就是 p=G().由 Poisson过程的非时齐分流定理,我们立刻得到下述结论 定理7.10M/G/∞系统的输出流是强度为λG()的非齐次 Poisson流,即对于第 n个顾客离开系统的时间rn,其计数过程M1=sup{n:τn≤l}是强度为λG(1)的非时齐 过程 这时服务时间长度T为独立同分布的任意分布函数G(m).只要m=ET1>0有限,那 么经过并不复杂的推导(参见:A.H.欣钦,公用事业理论的数学方法,科学出版社1958 年中译本,第72页),就可得到 定理7.11当t→∞时,排队过程X1近似于 Poisson分布 Poisson1m】 对于一般排队过程来说,通过定理4.28用混合的 Erlang分布,来近似排队系统中的 服务分布或顾客到达的间隔分布的方法,是一个简化排队系统的重要方法,通常称为位相方 法。例如,由定理4.28,排队系统中的服务时间的近似分布为F(x),它对应于顾客要以 概率Pn连续地完成n个独立的串联的分布为Exp1的服务后(称为n个位相),才离开系统 这种思路可以用来有限地简化排队系统的一些统计指标的近似计算,如不变分布,队伍长度 的分布等等 注]处理一般非 Markov排队过程X,的常用的方法中,还有一种加入辅助变量使之成 为高一维的 Markov过程的辅助过程方法例如,对于M/G/1系统的排队过程X,记 q1=时刻在接受服务的顾客已接受服务的时间,那么(X1,q,)是取值于Z+xR+的 Markov过程,其中Z+,R+分别为非负整数集,非负实数集类似地,对于G/M/1系统的193 3. 5 关于 M / G/ ¥ 系统的注记 M / G/ ¥ 系统与 M / G/1系统的唯一不同是, M / G/ ¥ 系统有 ¥ 条服务线, 进入系 统的每个顾客可以随机地选取一条服务线. 而各服务线的服务时间仍是服从分布函数 G(t) 的独立同分布随机变量, 且与输入流彼此独立. 为了在数学上简单些, 我们仍假定 G(t) 有 密度 g (t) . 我们来考虑 M / G/ ¥ 系统的输出(顾客)流．由于有¥ 条服务线, 进入系统的顾客立刻 得到服务, 顾客进入后, 在经过时间 t 以前离开的概率就是服务时间不大于 t 的概率, 即是 G(t) . 若我们把离开与还在接受服务看成顾客流的随机分流, 那么这个分流的概率就是 p = G(t) ．由 Poisson 过程的非时齐分流定理, 我们立刻得到下述结论: 定理７.１０ M / G/ ¥ 系统的输出流是强度为lG(t)的非齐次Poisson流, 即对于第 n 个顾客离开系统的时间 n t , 其计数过程 N sup{n : t} t = n £ D t 是强度为lG(t) 的非时齐 Poisson 过程. 这时服务时间长度 ~ Ti 为独立同分布的任意分布函数 G(t) . 只要 0 ~ m = ET i > D 有限,那 么经过并不复杂的推导(参见: A.я.欣钦, 公用事业理论的数学方法, 科学出版社 1958 年中译本,第 72 页), 就可得到: 定理７.１１ 当t ®∞时, 排队过程 Xt 近似于 Poisson 分布Poissonl×m . 】 对于一般排队过程来说，通过定理４.２8 用混合的 Erlang 分布，来近似排队系统中的 服务分布或顾客到达的间隔分布的方法，是一个简化排队系统的重要方法，通常称为位相方 法. 例如，由定理 4.28, 排队系统中的服务时间的近似分布为 F (x) h , 它对应于顾客要以 概率 pn 连续地完成n 个独立的串联的分布为 h Exp1 的服务后(称为n 个位相), 才离开系统. 这种思路可以用来有限地简化排队系统的一些统计指标的近似计算, 如不变分布, 队伍长度 的分布等等. [注] 处理一般非 Markov 排队过程 Xt 的常用的方法中, 还有一种加入辅助变量使之成 为高一维的 Markov 过程的辅助过程方法. 例如, 对于 M / G / 1系统的排队过程 Xt , 记 t jt = 时刻在接受服务的顾客已接受服务的时间, 那么 ( , ) Xt jt 是取值于 + + Z ´ R 的 Markov 过程, 其中 + + Z , R 分别为非负整数集, 非负实数集. 类似地，对于G / M / 1系统的