排队过程X,只要记v1=“自t时刻至下一个顾客到达的等待时间”,则(X1,v)也是取 值于Z×R的 Markov过程这里的φ,v,都是辅助随机过程.辅助随机过程引入后,就 可以使用 Kolmogorov方程和 Master方程,以及不变分布等工具.近年来我国有些学者,注 意到了多数排队系统的排队过程在某些特定的随机时刻上具有 Markov性,并称这种在一些 特殊时刻上具有 Markov性的随机过程为 Markov骨架过程.他们利用首达时刻分析方法, 得到了 Markov骨架过程的转移特征满足的积分方程,由此可以得到描述排队过程的许多特 征量.在理论上为研究GI/G/1等系统,提供了不同于在辅助过程方法的一个途径 4.半 Markov过程 半 Markov过程 1.半 Markov过程是时间连续的 Markov链的自然推广,它并不假定呆在一个状态的时间服从指数分 布.因此,它更多地出现在许多常见的排队过程中.它的确切定义为 定义7.12设5是一个最多只取可数个状态的连续时间的随机过程,其跳跃由某个连续时间的 markov链的嵌入链的转移矩阵决定,但是它呆在状态i的时间未必服从指数分布,假定在状态i呆的时间 是与离开i时进入的状态j也有关的某个分布F()(i≠j).再假定各次跳跃是独立的,呆在不同状态 的时间是独立的,且它们之间也相互独立。这样的随机过程5称为半 Markov过程 2.半 Markov过程有与连续时间的 Markov链类似的优点,就是容易对它作随机模拟.我们以N个 状态的半 Markov过程为例,给出它的轨道模拟步骤如下: (1).模拟初始分布H0=(0(1),…,40(N):对于1≤i≤N,以概率{()取i; (2)作分布F的随机数T让轨道在状态停留时间T后,以概率P0CP=1)跳到 f(≠1) (3).以j代替i后重复步骤(2) 这个P=(P),(Pa=0)对应的 Markov链,称为半 Markov过程的嵌入链,也称P为半 Mar kov过程的 嵌入转移矩阵 3.半 Markov过程在转移前平均停留时间可以表达如下 设从i出发,到转移前在i停留的时间为τ由假定,在转移到j的条件下,t1的条件分布为F 而从i转移为J的概率为P,于是r,的分布函数为 P(r1≤D=∑PF2() 4.2半 Markov过程的渐近性质 令Tn为半 Markov过程两次连续进入l间的一个循环的时间间隔,那么半 Markov过程从开始停留在194 排队过程 Xt , 只要记 y t =“自t 时刻至下一个顾客到达的等待时间”, 则( , ) Xt yt 也是取 值于 + + Z ´ R 的 Markov 过程. 这里的jt yt , 都是辅助随机过程. 辅助随机过程引入后， 就 可以使用 Kolmogorov 方程和 Master 方程, 以及不变分布等工具. 近年来我国有些学者，注 意到了多数排队系统的排队过程在某些特定的随机时刻上具有 Markov 性，并称这种在一些 特殊时刻上具有 Markov 性的随机过程为 Markov 骨架过程. 他们利用首达时刻分析方法， 得到了 Markov 骨架过程的转移特征满足的积分方程, 由此可以得到描述排队过程的许多特 征量. 在理论上为研究GI / G / 1等系统, 提供了不同于在辅助过程方法的一个途径． * 4. 半 Markov 过程 4. 1 半 M arkov 过程 １．半 Markov 过程是时间连续的Markov 链的自然推广, 它并不假定呆在一个状态的时间服从指数分 布． 因此，它更多地出现在许多常见的排队过程中．它的确切定义为 定义７．１２ 设 t x 是一个最多只取可数个状态的连续时间的随机过程， 其跳跃由某个连续时间的 Markov 链的嵌入链的转移矩阵决定, 但是它呆在状态 i 的时间未必服从指数分布, 假定在状态 i 呆的时间 是与离开 i 时进入的状态 j 也有关的某个分布 F (t),(i j) ij ¹ . 再假定各次跳跃是独立的, 呆在不同状态 的时间是独立的, 且它们之间也相互独立． 这样的随机过程 t x 称为半 Markov 过程. ２．半 Markov 过程有与连续时间的 Markov 链类似的优点，就是容易对它作随机模拟．我们以N 个 状态的半 Markov 过程为例，给出它的轨道模拟步骤如下： (1). 模拟初始分布 m0 ( (1), , ( )) = m0 L m0 N ： 对于1£ i £ N , 以概率 ( ) 0 m i 取i ; (2). 作分布 Fij 的随机数Tij ，让轨道在状态 i 停留时间Tij 后，以概率 (å = 1) ¹ ij j i ij p p 跳到 j(¹ i) ; (3). 以 j 代替i 后重复步骤(2).. 这个 P = ( ), ( = 0) ij ii p p 对应的 Markov 链, 称为半Markov 过程的嵌入链，也称P 为半 Markov 过程的 嵌入转移矩阵． ３．半 Markov 过程在转移前平均停留时间可以表达如下： 设从i 出发, 到转移前在i 停留的时间为 i t . 由假定, 在转移到 j 的条件下, i t 的条件分布为 Fij , 而从i 转移为 j 的概率为 ij p , 于是 i t 的分布函数为 å¹ £ = j i i ij ij P(t t) p F (t) . 4. 2 半 Markov 过程的渐近性质 令 ii t 为半 Markov 过程两次连续进入i 间的一个循环的时间间隔， 那么半 Markov 过程从开始停留在