i,一直到离开i后又首次回到i,就形成一个循环,所有的循环连起来就成为一个交错更新过程.对这个 交错更新过程用极限定理,便得到半 Markov过程的状态转移的渐近性质 定理7.13如果半 Markov链的嵌入转移矩阵P不可约,且tn的分布为非格点分布,又 Er。<∞.那么 P(5,=150=)-2+zEr [0,r中过程停留在的时间 它们都与半 Markov链的初值无关 若嵌入链P正常返,互通,即P“→>丌.又若T为非格点分布,且ET1<∞.回忆 Markov链的 情形那时有兀1=C=C丌,ET1,可以猜想这个关系对于半Mrow过程仍然正确即我们有下 述定理 定理7.14若半 Markov过程的嵌入链P正常返,互通,即P"→>丌,又若rn为非格点分布,且 Er.<∞,则 ET 它等价于 ET 证明令为第k次在j停留的时间长度,N为前n次转移中取j的次数,p为前n次转 移中取j的时间的比例用兀=mnP及强大数定律于 ∑t N ∑∑:∑"m∑ N195 i , 一直到离开i 后又首次回到i , 就形成一个循环， 所有的循环连起来就成为一个交错更新过程. 对这个 交错更新过程用极限定理，便得到半 Markov 过程的状态转移的渐近性质. 定理 7. １３ 如果半Markov 链的嵌入转移矩阵P 不可约， 且 ii t 的分布为非格点分布, 又 Et ii < ¥ . 那么 jj j j t t E E P j i t t x x p D ®¥ ( = | 0 = ) ¾ ¾® = , j jj j t E E t t j p t t ¾ ¾® = [0, ]中过程停留在 的时间 ®¥ , 它们都与半 Markov 链的初值无关. 】 若嵌入链 P 正常返, 互通, 即 P ~ ®p n . 又若 ii t 为非格点分布, 且 Et ii < ¥ . 回忆 Markov 链的 情形. 那时有 j j j j j C E q C p t p p ~ ~ = = . 可以猜想这个关系对于半 Markov 过程仍然正确. 即我们有下 述定理 定理 7. １４ 若半Markov 过程的嵌入链P 正常返, 互通, 即 P ~ ®p n . 又若 ii t 为非格点分布, 且 Et ii < ¥ , 则 D p j (= å = k k k j j jj j E E E E p t p t t t ~ ~ ) , 它等价于 ~ ~ j k k k jj E E p p t t å = . 证明 令 (k ) j t 为第k 次在 j 停留的时间长度, (n) N j 为前n 次转移中取 j 的次数, (n) p j 为前n 次转 移中取 j 的时间的比例. 用 ( ) lim n p j = n®¥ pj 及强大数定律于 åå å = = = i N k k i N k k j n j n i n j p ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) t t å å å = = × × = i N k k n i i n i N k k n j j n j n i n j n N N n N N ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 t t