(2)当Zn>0时,若Zn=0,则在(rn1,rn]有i+1个顾客离开,而且还出现了闲 期,于是在条件{Zn=0下{Yn1=i+1}不是等价于{N-N-=i+l1},而是等价于 {N-N≥i+1}·所以,与上面类似地有 P(Zn=0|Zn1=i)=P(n-1=1+1) P(N,-N.>i+1|m=1g(dt=e-2 (4·t) h8( 定理7.9对于排队系统G/M/1,在 (7.38) 时,排队过程在顾客到达的时刻所导出的 Markov链有形式如 (1,B…,B”, 的不变分布,其中β是方程 β tt (7.40) 在(0)中的唯一解.而且此时有P"→1 证明 Markov链X显见互通且是非周期的.如果我们证明了它至少存在一个不变分 布丌,那么它一定是正常返的,从而不变分布唯一,而且P→1丌.在(7.38)条 件下时,我们待定常数β,使以(7.39)定义的兀是不变分布.而不变分布的条件 =P元即 B b B"∑Bb 利用(7.37)就得到β满足(7.40).而在条件(7.38)下,可以用分析方法 证明(因为较繁,所以略去)上面的方程在开区间(0,1)中存在唯一解 [注]在3.3段与3.4段中,若G(x)没有密度,那么,只要用dG(1)代替g()d,即 只要把普通积分改为 Stieltjes积分,就使所有的结论保持正确192 (2) 当 1 0 ^ Z n - > 时, 若 0 ^ Z n = , 则在 ( , ] n 1 n t t - 有i +1个顾客离开, 而且还出现了闲 期,于是在条件{ 0} ^ Z n = 下 { 1 1} ^ Y n- = i + 不是等价于{ 1} ' ' 1 - = + - N N i t n t n , 而是等价于 { 1} ' ' 1 - ³ + - N N i t n t n . 所以，与上面类似地有 ( 0 | 1 ) ^ ^ P Z n = Z n- = i ( 1 1) ^ = P Y n- = i + P N N i T t g t dt n n n ( ' ' 1| ) ( ) 1 0 = - ³ + = t t - ¥ ò ò å ¥ ¥ = + - × × = 0 1 ( ) ! ( ) g t dt k t e k k i m t m j = b . 定理７.９ 对于排队系统G/ M /1，在 ò > m 1 tg(t)dt （７．３８） 时, 排队过程在顾客到达的时刻所导出的 Markov 链有形式如 p (1, , , , ) 1 1 b L b n L - b = （７．３９） 的不变分布, 其中 b 是方程 ò ¥ - - = 0 (1 ) e g(t)dt m b t b （７．４０） 在(0,1) 中的唯一解．而且此时有 P n p T ® 1 . 证明 Markov 链 n Xt 显见互通且是非周期的. 如果我们证明了它至少存在一个不变分 布p , 那么它一定是正常返的, 从而不变分布唯一, 而且 P n p T ® 1 . 在（７．３８）条 件下时, 我们待定常数 b ，使以（７．３９）定义的p 是不变分布．而不变分布的条件 p＝ P p 即 å å ¥ = - - - ¥ = - = = 0 1 ( 1) 1 j j n j k n k n n k b b b b b b . 利用（７．３７）就得到 b 满足（７．４０）．而在条件（７．３８）下, 可以用分析方法 证明（因为较繁，所以略去)上面的方程在开区间(0,1) 中存在唯一解. [注] 在 3. 3 段与 3. 4 段中, 若G( x) 没有密度, 那么, 只要用dG(t) 代替 g(t)dt , 即 只要把普通积分改为 Stieltjes 积分, 就使所有的结论保持正确