猜测排队过程在时间列τn上有 Markov性,这就是下面的定理 定理7.8G/M/系统的排队过程x限制在顾客的到达的时刻T上,得到的x 是时间离散的 Markov链,它恰好记录了排队过程各个顾客刚到时所看到的排队队伍长度, 其转移矩阵为 b, bo 0 bk b, bo 0 (7.36) bk b, b bo ∑bbbb 其中 (·1) b e.g(t)dt (7.37) 证明与M/G/1排队系统对偶地,令 Zn=第n个顾客来到系统时见到在系统中的顾客数 把区间(rm1rn]中离开排队系统的顾客个数记为Ym1.那么 与M/G/1系统类似地可以证明,Zn是 Markov链.服务时间指数流对应的更新过程为 Poisson过程记为N又设{Tn}是一个以g()为密度的更新流,且τn=∑T·我们用 全期望公式求得{Zn}的转移概率如下 (1)在i+1≥j>0时,区间(rn1,n]中并未出现闲期,所以 P(Zn=jIZn-I=i=P(Y 「P(N,-Nn=1-f+1n=0g()=∫P(N=1-j+17n=0()t g(t)dt,(0<j≤i+1)191 猜测 排队过程在时间列 n t 上有 Markov 性, 这就是下面的定理 定理７.８ G/ M /1系统的排队过程 Xt 限制在顾客的到达的时刻 n t 上，得到的 n Xt 是时间离散的 Markov 链，它恰好记录了排队过程各个顾客刚到时所看到的排队队伍长度， 其转移矩阵为 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è æ = å å å å ¥ = ¥ = ¥ = ¥ = M M O O O O L L L 3 2 1 4 2 1 0 3 1 0 2 0 1 0 0 0 b b b b b b b b b b b b b k k k k k k k k ， （７．３６） 其中 b j = e g t dt j t t j ( ) ! ( ) . 0 m -m ¥ × = ò ． （７．３７） 证明 与 M/G/1 排队系统对偶地, 令 Z n ^ =第n 个顾客来到系统时见到在系统中的顾客数. 把区间( , ] n 1 n t t - 中离开排队系统的顾客个数记为 1 ^ Y n- . 那么 max( 1 1 ,0) ^ 1 ^ ^ Z n = Z n- + -Y n- . 与 M/G/1 系统类似地可以证明, Z n ^ 是 Markov 链. 服务时间指数流对应的更新过程为 Poisson 过程记为 N t ' . 又设{ } Tn 是一个以 g (t) 为密度的更新流, 且 å= = n k n Tk 1 t ．我们用 全期望公式求得{ } ^ Z n 的转移概率如下: (1) 在i +1 ³ j > 0 时, 区间( , ] n 1 n t t - 中并未出现闲期, 所以 ( | 1 ) ^ ^ P Z n = j Z n- = i ( 1 1) ^ = P Y n- = i - j + P N N i j T t g t dt n n n ( 1| ) ( ) ' ' 0 1 = - = - + = ò - ¥ t t P N i j T t g t dt t n ( ' 1| ) ( ) 0 = = - + = ò ¥ ò ò ¥ ¥ = = - + = 0 0 P(N ' i j 1)g(t)dt t e g t dt i j t t i j ( ) ( 1)! ( ) 1 m -l - + - + × , (0 < j £ i + 1)