∑ (r(二)-丌0)A() 最后得到 z()、(2-1)丌04() A(=) 由此得z(1)1 故而丌o=1-p.于是当p<1时,不变分布唯一地存在.容易验 p 证它是互通的.由定理5.50知道{Zn}是正常返的,易见它还是非周期的.所以由该定 理后面的注1,有 P→1丌 从而丌代表了系统稳定时,在顾客离开系统时,还留在系统中的顾客数的分布.综上得到 下面的定理 定理7.7对于排队系统M/G/,在满足条件」g(1)d<时,排队过程在顾客 离开时刻上导出的离散时间 Markov链存在唯一的不变分布兀,它的矩母函数为 r(-)=(z-11-p)A4() (7.33) A(=) 其中 A:)=∑a=1,p= (7.34) 并且满足Pn→1m.】 经过较多的计算,还可以得到M/G/系统的平均忙期为 ∑ -(·t) 其中g为g的n次卷积 3.4G/M/排队系统 如果服务时间服从参数为的独立指数分布,而顾客到达的流是 般的更新流 (即间隔时间为独立同分布的分布函数G(t),或分布密度g(m)),其它假定都与M/M/1 相同,则这样的排队系统记为G/M/1.这个系统中顾客到达时间的间隔并不服从指数分 布,因此时间间隔的分布不是无记忆的,也就是说,系统等待顾客到达所花费的时间,是 个需要记忆的参数.在此参数给定时,系统中的排队人数不再具有 Markov性.但是,如果 限制于考虑顾客到达的时刻τn,由于此时正好完成了一个完整的“到达周期”,我们可以190 å å ¥ = ¥ = - - + - + 1 1 1 1 1 i j i j i j i i i z a z z p z ( (z) )A(z) p -p0 = . 最后得到 ( ) ( 1) ( ) ( ) 0 z A z z A z z - - = p p . 由此得 r p p - = 1 (1) 0 . 故而 p 0 = 1- r . 于是当 r < 1时, 不变分布唯一地存在. 容易验 证它是互通的. 由定理５．５０知道{ } Zn 是正常返的, 易见它还是非周期的. 所以由该定 理后面的注 1, 有 P n® T 1 p . 从而p 代表了系统稳定时, 在顾客离开系统时, 还留在系统中的顾客数的分布. 综上得到 下面的定理 定理７．７ 对于排队系统M / G/1，在满足条件 l 1 ( ) 0 < ò ¥ tg t dt 时，排队过程在顾客 离开时刻上导出的离散时间 Markov 链存在唯一的不变分布p ，它的矩母函数为 ( ) ( 1)(1 ) ( ) ( ) z A z z A z z - - - = r p ， （７．３３） 其中 å ¥ = = 0 ( ) j j j A z a z ， ò ¥ = 0 r l tg(t)dt ． （７．３４） 并且满足 P n® T 1 p .】 经过较多的计算, 还可以得到 M / G/1系统的平均忙期为 g t dt n t e n n n t ( ) ! ( ) * 1 1 ò0 å ¥ = - - ¥ l × l ， （７．３５） 其中 n g * 为 g 的n 次卷积. 3. 4 G/ M /1排队系统 如果服务时间服从参数为 m 的独立指数分布, 而顾客到达的流是一个一般的更新流 ( 即间隔时间为独立同分布的分布函数 G(t) , 或分布密度 g (t) ), 其它假定都与 M / M /1 相同, 则这样的排队系统记为 G/ M /1. 这个系统中顾客到达时间的间隔并不服从指数分 布, 因此时间间隔的分布不是无记忆的, 也就是说，系统等待顾客到达所花费的时间, 是一 个需要记忆的参数. 在此参数给定时, 系统中的排队人数不再具有 Markov 性. 但是, 如果 限制于考虑顾客到达的时刻 n t ，由于此时正好完成了一个完整的“到达周期”， 我们可以