1=Nn-Non,On-σn-~8(1),我们用全期望公式求得转移概率 P(Zn=JIZn-=i)=P(Y -=j-i+1) J P(No, -No=j-i+110-0m1=Dg( )dr=P(N,j-i+1|=0g()dr P(N=j-1+1)g(dt=「 (·t)y +1) (注的严格推导要用 Poisson过程的强再生性) 对i=0的情形,类似地可算出 P(Z=JIZ,=0) g(dt=a 下面我们来求它存在不变分布的条件 记平均服务时间为”(它相当于M/M/1系统中的),那么 tg(tdt 注意,转移矩阵P的首行是一个分布,记此分布的期望为p,则 Ja 0ne8()d=g(M=2 受MM/1系统的启发,我们猜测并证明:当<时,即p<1时,{zn}存在唯 不变分布=(x0,兀1)为此我们只须求出其母函数x()=∑兀2·记 A(=)=∑a2=1.由P的形式,用兀=P的分量形式 便得 z(x)=x04()+∑∑ 其中后一个和数为189 1 -1 - = -n n Yn Ns Ns , ~ ( ) 1 g t sn -sn - , 我们用全期望公式求得转移概率 ( | ) 1 P Z j Z i n = n- = ( 1) = P Yn-1 = j - i + P N N j i t g t dt n n n n ( 1| ) ( ) 1 0 1 = - = - + - - = ¥ ò - s s s s P N j i T t g t dt t ( 1| ' ) ( ) 0 * = = - + = ò ¥ ò ò ¥ ¥ = = - + = 0 0 P(N j i 1)g(t)dt t e g t dt j i t t j i ( ) ( 1)! ( ) 1 l -l - + - + × . (注 * 的严格推导要用 Poisson 过程的强再生性). 对i = 0 的情形, 类似地可算出 ( | 0) P Zn = j Zn-1 = j t j e g t dt a j t = × = - ¥ ò ( ) ! ( ) 0 l l . 】 下面我们来求它存在不变分布的条件. 记平均服务时间为v (它相当于 M / M /1 系统中的 m 1 ), 那么 ò ¥ = 0 v tg(t)dt . 注意, 转移矩阵 P 的首行是一个分布, 记此分布的期望为 r , 则 e g t dt g t dt v j t ja j t j j j å j ò å ò ¥ - × ¥ ¥ = ¥ = = = × × = = 0 0 1 0 ( ) ( ) ! ( ) l l l r l . 受 M / M /1 系统的启发, 我们猜测并证明: 当 n l 1 < 时 , 即 r < 1 时, { } Zn 存在唯一 不变分布p ( , , ) = p 0 p 1 L . 为此我们只须求出其母函数 å ¥ = = 0 ( ) j j j p z p z . 记 å ¥ = = 0 ( ) j j j A z a z . 由 P 的形式,用p = p P 的分量形式 å + = = + - + 1 1 0 1 j i p j p a j pia j i , 便得 åå ¥ = + = = + - + 0 1 1 0 1 ( ) ( ) j j i j i j i p z p A z p a z , 其中后一个和数为