指数流,即更新间隔的分布不是无记忆的.所以,正在接受服务的顾客已经在服务线上已花 费的时间,就应该是一个需要记忆的参数.在次参数给定时,系统中的排队人数也不具有 Markov性.但是,如果只考虑顾客离开的时刻σ(注意它是随机的),由于此时正好完成 了一个服务周期,于是在这些时刻排队人数的变化只由输入决定,而输入是指数流,我们可 以猜想排队过程在这些时刻上具有 Markov性.即只考虑排队过程在顾客离开的时间列{on} 上就是离散时间的 Markov链.我们把它表达为下面的定理 定理7.6M/G/系统的排队过程X,限制在顾客离开的时间列σn上,得到的X 是时间离散的 Markov链,它恰好记录了排队过程各个顾客刚离开后的排队队伍长度,其转 移矩阵为 P=0 ao a, a2 (7.31) 00 a 其中 (·1) 0 e g()dt (7.32) 这个 Markov链没有可逆分布 证明为了使讨论简单,我们不妨假定G(1)具有分布密度g().从直观上看,把第n 个顾客离开的时刻记为on,而记此时在系统中还留下的排队人数为ZnZn是由此顾客 在接受服务期间进入系统的(且与此顾客的服务独立的)指数顾客流决定的.我们把第n-1 个顾客离开(即第n个顾客接受服务)至第n个顾客离开期间(即(σn1,n],它恰为一个服 务周期)进入系统的顾客数记为Yn·那么,Yn-1与(Zn1,…,Z1)独立.同时我们有 ∫Fm-+Zm-1(若zn>0) (若Zn1=0) 在1>0时推得 P(Zn=川Zn1=1,Zn2=ln2,)=P(yn1=j-1+1|Zn1=1,Zn-2=n2…) P(YN=j-i+1)=P(Zn=j Zn-=i) 而在Zn=0时, Markov性是显然的.这就证明了{Zn}是 Markov链.我们进一步求它的 转移矩阵.(1)当j<i-1时,显见P(Zn=j|Zn1=1)=0 (2)在j≥1-1,>0的情形.由于(on-1,on]对应一个服务周期,而188 指数流, 即更新间隔的分布不是无记忆的．所以, 正在接受服务的顾客已经在服务线上已花 费的时间, 就应该是一个需要记忆的参数. 在次参数给定时, 系统中的排队人数也不具有 Markov 性. 但是, 如果只考虑顾客离开的时刻s (注意它是随机的)， 由于此时正好完成 了一个服务周期，于是在这些时刻排队人数的变化只由输入决定，而输入是指数流，我们可 以猜想排队过程在这些时刻上具有 Markov 性．即只考虑排队过程在顾客离开的时间列{ } sn 上就是离散时间的 Markov 链．我们把它表达为下面的定理 定理７.６ M / G/1系统的排队过程 Xn 限制在顾客离开的时间列sn 上，得到的 n Xs 是时间离散的 Markov 链，它恰好记录了排队过程各个顾客刚离开后的排队队伍长度，其转 移矩阵为 P ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = M M O O O L L L L 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a ， （７．３１） 其中 a j = e g t dt j t t j ( ) ! ( ) 0 l -l ¥ × = ò . （７．３２） 这个 Markov 链没有可逆分布． 证明 为了使讨论简单, 我们不妨假定G(t) 具有分布密度 g (t) . 从直观上看, 把第 n 个顾客离开的时刻记为 sn ， 而记此时在系统中还留下的排队人数为 Zn ． Zn 是由此顾客 在接受服务期间进入系统的（且与此顾客的服务独立的）指数顾客流决定的．我们把第n -1 个顾客离开(即第 n 个顾客接受服务)至第 n 个顾客离开期间(即 ( , ] sn -1 sn ,它恰为一个服 务周期)进入系统的顾客数记为Yn -1 . 那么, Yn -1与( , , ) Zn-1 L Z1 独立. 同时我们有 î í ì = + - > = - - - - ( 0) 1 ( 0) 1 1 1 n -1 n n n n i n Y Z Y Z Z Z 若 若 . 在i > 0 时推得 ( | , , ) P Zn = j Zn -1 = i Zn -2 = i n-2 L ( 1| , , ) = P Yn-1 = j - i + Zn -1 = i Zn -2 = i n-2 L ( 1) = P Yn-1 = j - i + ( | ) 1 P Z j Z i = n = n - = . 而在 Zn = 0 时，Markov 性是显然的. 这就证明了{ } Zn 是 Markov 链. 我们进一步求它的 转移矩阵. （１）当 j < i -1时, 显见 P(Zn = j | Zn -1 = i) = 0 . （２）在 j ³ i -1,i > 0的情形. 由于( , ] sn -1 sn 对应一个服务周期, 而