明X"也是PAX=PB的解 反之,设X是PAX=PB的任一解,即有PAX°=PB成立,两边左乘矩阵P,得P(PAX)= P(Pβ),根据结合律得(PP)AX=(PP)β,从而有AX=β,这说明X也是AX=B的解 综合以上可知,线性方程组AX=B与线性方程组PAX=PB同解 3.设P是n×n可逆矩阵,C是n×m矩阵.证明:矩阵方程PX=C有唯一解. 证令X'=PC,代入PX=C中验证知X是矩阵方程的一个解.反之,设X是矩阵方程PX=C 的任一解,即有PX=C成立,两边左乘P得,X=PC=x,所以矩阵方程PX=C有唯 4.设A是n×n可逆矩阵,且存在一个整数m使得A"=0.证明:(E-A)是可逆的,并且 (E-A)=E+A+…+A 证由于(E-A)(E+A+…+Am)=E+A+…+A-A-A2-…-A"=E-A"=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A)的次序后相乘结果仍成立,根据逆阵的定义知 (E-A)=E+A+…+A 设P,A都是n×n矩阵,其中P是可逆的,m是正整数.证明:(PAP)PA"P 证(PAP)=(PAP)(PAP)(PAP)…(PAP) =PA(PP)APP)…AP= PAEAE…AP=PAP 6.设A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的,是否有 (A+B)=A-+B?若不是,试举出反例 解如果A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)不一定是可逆的例如A ,B= 都是可逆的,但A+B= 是不可逆的 如果(A+B)是可逆的,也不能说(A+B)=A2+B.例如A 可逆,A+B=/20 1/20 可逆,且(A+B) 01/2 但AB=/10 然(A+B)≠A+B 7∵.设A,B都是n×n矩阵,满足ABA=A,β是n×1矩阵.证明:当且仅当ABB=B时,线 性方程组AX=B有解. 证当ABB=B时,记X=BB,即X是AX=B的一个解. 反之,若线性方程组AX=B有解,设X是它的一个解,即有AX=B,两边左乘(AB)得 (ABA)X =AB B 用已知条件ABA=A代到上式左边得 AX=AB B 由于X是AX=B的一个解,即AX=B,所以ABB=B 习题2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵A化成 的形式明 X (1)也是 PAX=Pβ的解． 反之，设 X (2)是 PAX=Pβ的任一解，即有 PAX (2)=Pβ成立，两边左乘矩阵 P -1，得 P -1 (PAX (2))= P -1 (Pβ)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有 AX (2)=β，这说明 X (2)也是 AX=β的解． 综合以上可知，线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 3.设 P 是 n×n 可逆矩阵，C 是 n×m 矩阵．证明：矩阵方程 PX=C 有唯一解． 证 令 X *=P -1C，代入 PX=C 中验证知 X *是矩阵方程的一个解．反之，设 X (1)是矩阵方程 PX=C 的任一解，即有 PX (1)=C 成立，两边左乘 P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程 PX=C 有唯一解． 4. 设 A 是 n×n 可逆矩阵，且存在一个整数 m 使得 A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m=E-A m=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 5.设 P，A 都是 n×n 矩阵，其中 P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP) m=P -1A mP． 证 (P -1AP) m=(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP) =P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE…AP=P -1A mP 6. 设 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有 (A+B) -1=A -1+B -1？若不是，试举出反例． 解 如果 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如 A=       0 1 1 0 ，B=         0 1 1 0 都是可逆的，但 A+B=       0 0 0 0 是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B) -1=A -1+B -1．例如 A=       0 1 1 0 ，B=       0 1 1 0 ，则 A，B 可逆，A+B=       0 2 2 0 可逆，且(A+B) -1=       0 1/ 2 1/ 2 0 ，但 A -1+B -1=       0 1 1 0 +       0 1 1 0 =       0 2 2 0 ．显 然(A+B) -1≠A -1+B -1． 7 *.设 A，B 都是 n×n 矩阵，满足 ABA=A，β是 n×1 矩阵．证明：当且仅当 ABβ=β时，线 性方程组 AX=β有解． 证 当 ABβ=β时，记 X *=Bβ，即 X *是 AX=β的一个解． 反之，若线性方程组 AX=β有解，设 X (1)是它的一个解，即有 AX (1)=β，两边左乘(AB)得 (ABA)X (1)=ABβ 用已知条件 ABA=A 代到上式左边得 AX (1)=ABβ 由于 X (1)是 AX=β的一个解，即 AX (1)=β，所以 ABβ=β． 习题 2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵 A 化成       0 0 E 0 的形式：