解得,c=0,a=d,b为任意数.即与A可交换的矩阵B可写成B= 5.设A,B是n×n矩阵,并且A是对称矩阵,证明:BIAB也是对称矩阵 证已知A是对称矩阵,即A=A,从而(BAB)=BA(B1)=BAB,所以BAB也是对称 矩阵 6.设A ,求A2,A3,…,Ak 解心 0)b0)(b20 b人ab丿(2abb A(2mbb2人ab)(3ab2b3 0b0 b 0 7.设B是2×2矩阵.由B2=02x2能推出B=0吗?试举反例.(提示:参见上题.) 解不能.例如令a0,当a≠0时,B≠0,但B0x 8.设A,B是n×n矩阵,证明:(A+2BA-5B)=A2-3AB-10B2的充分必要条件是A与B可 交换 证充分性:若A与B可交换,即AB=BA,则 (A+2B)(A-5B=A2-5AB+2BA-10B2=A2-5AB+2AB-10B2=A2-3AB-1OB 必要性:若(A+2B(A-5B)=A2-3AB-10B2 BJ A2-5AB+2BA-10B2=A-3AB-10B 比较两边相同的项得-2AB+2BA=0 9.设A,B是n×n对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换 证因A,B是n×n对称矩阵,即A=A,BI=B. 必要性:若AB是对称矩阵,则(AB)=AB,有因(AB)T=BIA=BA,从而AB=BA,即A 与B可交换 充分性:若A与B可交换,由必要性证明过程反图推,知AB是对称矩阵 习题22 1.设A,B,C是矩阵,且满足AB=AC,证明:如果A是可逆的,则B=C 证已知AB=AC,两边左乘矩阵A,有A(AB)=A(AC),根据结合律得(AA)B=(AA)C, 从而有EB=EC,故B=C 2.设P是可逆矩阵,证明:线性方程组AX=B与线性方程组PAX=Pβ同解 证设X是AX=B的任一解解,即有AX0=B成立,两边左乘矩阵P,得PAX①=Pβ,说解得，c=0，a=d，b 为任意数．即与 A 可交换的矩阵 B 可写成 B=       a a b 0 ． 5. 设 A，B 是 n×n 矩阵，并且 A 是对称矩阵，证明：B TAB 也是对称矩阵． 证 已知 A 是对称矩阵，即 AT=A，从而 (B TAB)T=B TAT (B T ) T=B TAB，所以 B TAB 也是对称 矩阵． 6. 设 A=       a b b 0 ，求 A2，A3，…，Ak． 解 A2=                   2 2 2 0 0 0 ab b b a b b a b b A3=                   2 3 3 2 2 3 0 0 2 0 ab b b a b b ab b b … Ak=                        k k k k k k kab b b a b b k ab b b 2 1 1 1 0 0 ( 1) 0 7.设 B 是 2×2 矩阵．由 B 2=02×2能推出 B=0 吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令 B=       0 0 0 a ，当 a≠0 时，B≠0，但 B 2=02×2． 8. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2的充分必要条件是 A 与 B 可 交换． 证 充分性：若 A 与 B 可交换，即 AB=BA，则 (A+2B)(A-5B)=A2-5AB+2BA-10B2= A2-5AB+2AB-10B2= A2-3AB-10B2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2 即 A2-5AB+2BA-10B 2= A2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA 9. 设 A，B 是 n×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交换． 证 因 A，B 是 n×n 对称矩阵，即 AT=A，BT=B． 必要性：若 AB 是对称矩阵，则(AB)T=AB，有因 (AB)T =B TAT=BA，从而 AB= BA，即 A 与 B 可交换． 充分性：若 A 与 B 可交换，由必要性证明过程反图推，知 AB 是对称矩阵． 习题 2.2 1.设 A，B，C 是矩阵，且满足 AB=AC，证明：如果 A 是可逆的，则 B=C． 证 已知 AB=AC，两边左乘矩阵 A -1，有 A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C， 从而有 EB=EC，故 B=C． 2.设 P 是可逆矩阵，证明：线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 证 设 X (1)是 AX=β的任一解解，即有 AX (1)=β成立，两边左乘矩阵 P，得 PAX (1)=Pβ，说