第十章定积分的应用 §1平面图形的面积与立体的体积 例1求由曲线y=一与y=(x-3)2所围平面图形的面积(图10-10中的A),并求此图 形绕x轴旋转的旋转体体积。] 分析求双曲线xy=4与抛物线y=(x-3)2的交点 x(x-3)2=x3-6x2 (x-1)2(x-4)=0→x2=1x3=4 由此知道二曲线在x=1处相切,在x=4处相交 解根据以上分析所得结果,按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式,可分别求 得: A (x-3)2d =81n2-3; 丌 例2如图10-1所示,由点M(2a0)向椭圆+2=1作两条切线MP和MQ(P,Q 为切点)。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积A,并求该区域绕y轴旋转所得旋转体的体 积V 解本题的关键是求切线MP和MQ的方程,通常有两种解法 [解法一]求切线的斜率。设MP的方程为y=k(x-2a),当它与椭圆相切时,方程组 对x只有唯一解。为此消去y,得到关于x的二次方程: (b2+a2k2)x2-4a3k2x+4a4k2-a2b2=0 使其判别式为零,即第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积与立体的体积 例 1 求由曲线 x y 4 = 与 2 y = (x − 3) 所围平面图形的面积（图 10-10 中的 A），并求此图 形绕 x 轴旋转的旋转体体积。] 分析 求双曲线 xy = 4 与抛物线 2 y = (x − 3) 的交点： ( 3) 6 9 4, 2 3 2 x x − = x − x + x = 即 ( 1) ( 4) 0 1, 4. 1,2 3 2 x − x − =  x = x = 由此知道二曲线在 x =1 处相切，在 x = 4 处相交。 解 根据以上分析所得结果，按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式，可分别求 得： 81 2 3; ( 3) 3 1 41 ( 3) 4 4 1 3 4 1 2 = −       = − −       = − −  n nx x x dx x A . 5 27 ( 3) 5 1 5 16 ( 3) 4 4 1 5 4 1 4 2    =       = − − −          − −      =  x x dx x V 例 2 如图 10-11 所示，由点 M(2a,0) 向椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 作两条切线 MP 和 MQ（P，Q 为切点）。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积 A，并求该区域绕 y 轴旋转所得旋转体的体 积 V。 解 本题的关键是求切线 MP 和 MQ 的方程，通常有两种解法。 [解法一] 求切线的斜率。设 MP 的方程为 y = k(x − 2a) ，当它与椭圆相切时，方程组      = − + = ( 2 ) 1, 2 2 2 2 y k x a b y a x 对 x 只有唯一解。为此消去 y，得到关于 x 的二次方程： ( ) 4 4 0. 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 b + a k x − a k x + a k − a b = 使其判别式为零，即