Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可透项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ∫∑a(-byd=-∑∫(-byd=241(-y-(-y a(2-b) ak a4k(x-b)=∑a1(k+1)(二-b) 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑cn”的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)∑nc=(k为实数):(2)∑(2"-lk an=n cn, R lim =lim R (2)a=(2"-1 R2=lim lim lim y2-)2-)k R 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, ①逐次求积分和导数任意次; 收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p11的第二个菱形) 三、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析]  和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明]                               0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z          0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b                               积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数   n0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1）   n0 n n k n c z （ k 为实数）； （2）      0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a  n c ，   1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c                      . （2） 2 1 ,  n n n a c       2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c          注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）