Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|=-b<R内是解析的,则f(x) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(=)=∑a(=-b),其中 ∫(5 d:=/(b) (k=0,12,…),并且这样的展开是唯一的。 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:|-b≤R上是绝对且一致收敛的 在R和R之间取一圆C 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f∫(=) d 其中z是闭圆域-b≤R内的任一点。 因为 1-Z ∑2(Z}k1) 5-(5-b)-(=-b)5-b1-2-b5-b2(-b 其中F=≤n<1,即级数∑是收敛的。根据wmas的M判别法 RI 级数 是绝对且一致收敛的。那么∑ f(2)也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 ∫(5) f(5)d 2丌i f()-d(=-b)=∑4(-6) (5-b)Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z b  R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数        0 ( ) k k f z ak z b ，其中   ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b           （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1  R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z   上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C  ： b R1     ，根据 Cauchy 积分公式，有     1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z     ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z   内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z                 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b                              其中 1 1 1      R R b z b  ，即级数             0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数              k 0 k b z b  是绝对且一致收敛的。那么     ( ) 0 1   f b z b k k k             也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是           1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b                                                       