Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 其中 f(5) (最后一步用到了k阶导数的 Cauchy积分式,k=0,1,2…, see Chapt2.pP1)。由于 f(5)是解析的,它必是连续的,因此(5)≤M,利用 Cauchy不等式( see Chapt 2P1,.有|~"(b5A,所以“(b(=-b15M(B)(k=012 R 因为级数∑(8)是收敛的,所以幂级数∑/"(b(=-b在闭圆域 k -b≤R上是绝对且一致收敛的。 下面证明展开的唯一性: 假设两个级数在区域-b≤R都收敛到f(-), f()=∑a(=-b=∑c-b 取极限z→>b,由于级数在收敛域内是一致收敛的,故有 ao=Co=f(b) 逐项微商,再取极限z→b,又得a1=c1=f(b) 如此继续,即可证得, f((b) (展开了且用中心值z=b确定) ◆ Cauchy- Taylor定理的唯一性告诉我们 (1)可以用任何方便的方法来求其展开系数 (2)如果在同一点展开的两个 Taylor级数,则可以逐项比较系数 ◆因为 Taylor级数在其收敛圆内是一个解析函数,所以被展开的函数如果有奇 点的话,只能在收敛圆上或收敛圆外。因此,函数展开为ayor级数,其 最大收敛半径必等于展开中心到被展开函数最近的奇点的距离 例.1+==2-y=,奇点为=士,因此收敛半径R==1 而在实数范围内,就不能理解收敛半径为何是1了,因为函数1(1+x2) 11Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 11 其中   ! ( ) d ( ) 2 1 ( ) 1 1 k f b b f i a k C k k R           (最后一步用到了 k 阶导数的 Cauchy 积分式, k  0,1,2, , see Chapt 2. P.11)。由于 f () 是解析的，它必是连续的，因此 f ()  M ，利用 Cauchy 不等式(see Chapt 2. P.13)，有   k k R Mk f b 1 ( ) ! ( )   ，所以 ( ) 1 1 ( ) ( ) 0,1,2, ! k k f b k R z b M k k R          （ ）. 因为级数             0 1 1 k k R R 是收敛的，所以幂级数     0 ( ) ( ) ! ( ) k k k z b k f b 在闭圆域 b R1 z   上是绝对且一致收敛的。 下面证明展开的唯一性： 假设两个级数在区域 b R1 z   都收敛到 f (z)，               0 0 ( ) k k k k k f z ak z b c z b ， 取极限 z b ，由于级数在收敛域内是一致收敛的，故有 0 0 a c f b   ( ). 逐项微商，再取极限 z b ，又得 ( ) a1  c1  f  b . 如此继续，即可证得， ! ( ) ( ) k f b a c k k  k  （展开了且用中心值 z b  确定）.  Cauchy-Taylor 定理的唯一性告诉我们： （1）可以用任何方便的方法来求其展开系数。 （2）如果在同一点展开的两个 Taylor 级数，则可以逐项比较系数。  因为 Taylor 级数在其收敛圆内是一个解析函数，所以被展开的函数如果有奇 点的话，只能在收敛圆上或收敛圆外。因此，函数展开为 Taylor 级数，其 最大收敛半径必等于展开中心到被展开函数最近的奇点的距离。 例1.       0 2 2 ( 1) 1 1 n n n z z ，奇点为 z  i ，因此收敛半径 R   i 1. 而在实数范围内，就不能理解收敛半径为何是 1 了， 因为函数 1 (1 ) 2  x