注适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型 JP."dx, JP, sin bxdx, JP (x)cosbxdx 其中P(x)为某一n次多项式,对这些不定积分,只须令u=P(x),v=e"(或 sin bx. cos bx) 每用一次分部积分,便能使多项因子降幂一次:重复使用n次,可使多项式因子降幂成一常 数,而剩下的是求e“(或snbx, cos bx)的不定积分。 例2求下列不定积分(升幂法) ∫(2x-1)hxdx J(2 1arctanxdx 解(1)令以=x”=2x-1,于是u=1,=x2-x,因而 (2x-1)In xdx=(x-x)lnx-J (x2-xInx-5x2+x+C (2)令u= arctan x,v=x2-1,于是u 因而 +x 3 x arctan 3 (r'-3x)arctanx-3rf +x2)+C n(+x2)+C (3)∫x2 arcsin xdx=∫ arcsin x 而「注 适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型： P (x)e dx ax n  ， P bxdx n  sin ， P (x) bxdx n  cos 其中 P (x) n 为某一 n 次多项式，对这些不定积分，只须令 u P (x) = n ， ax v = e ' （或 sin bx,cosbx ）， 每用一次分部积分，便能使多项因子降幂一次；重复使用 n 次，可使多项式因子降幂成一常 数，而剩下的是求 ax e （或 sin bx,cosbx ）的不定积分。 例 2 求下列不定积分（升幂法）： （1） (2x −1)ln xdx ； （2） (x 1)arctanxdx 2  − ； （3） x arcsin xdx 2  解（1）令 ln , 2 1 ' u = x v = x − ，于是 v x x x u = = − ' 2 , 1 ，因而 ( ) ( ) dx x x x x xdx x x x −  − = − −  2 2 2 1 ln ln = (x − x) x − x + x + C 2 2 2 1 ln （2）令 arctan , 1 ' 2 u = x v = x − ，于是 2 ' 1 1 x u + = ， x x v = − 3 3 ，因而 ( ) ( ) d x x x x x x x x xdx 2 3 3 2 3 1 3 arctan 3 1 arctan + − −           − = − ( ) dx x x x x x x       + = − −  − 2 3 1 4 3 1 3 arctan 3 1 ( ) ( x ) C x x x x +      = − − − + 2 2 3 2ln 1 3 2 1 3 arctan 3 1 ( ) ( x ) C x x x x +      = − − + + 2 2 3 2ln 1 2 3 arctan 3 1 （3）          =  3 arcsin arcsin 3 2 x x xdx xd dx x x x x 2 3 3 3 1 1 arcsin 3 − = −  , 而 ( ) 2 2 2 3 1 1 dx x d x x x =  − − −  x x x x dx 2 2 2 = − 1− + 2  1−