+C,, 从而求得 ∫x2 arcsin xdx= arcsin.*+ √-x2+2y-x)+C 注适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型 ∫P(x)nx)"dx,fP,(x) arctan)"dx(m为正整数) (及某些∫P(x) ∫P(x) 在使用分部积分法求上述各类不定积分时,只须令=(nx)或 (arctan)",y=P(x) 使用每用一次分部积分,多项式因子升幂一次,同时使(nx)或 arctan)降幂,重复这个过 程m次,最后化为求一多项式或一有理分式的不定积分。 例3求下列不定积分(循环法) (3)x2+ad(a>0) 解(1)由前面问题2已知 Je- cos xdx=sinx+esin xdx 并由此求得结果(2.6),更一般地,按此法可得 ∫ e cos bxdx bsin bx + acos bx ∫ e" sin bxd asin bx-bcos bx b (参见教材上册第188页例15) =secx tan x+ sec xdx-sec xdx 于是得到 ∫sec3xdx=( ) 2 2 2 2 = −x 1− x −  1− x d 1− x ( ) 1 3 2 2 2 1 3 2 = −x 1− x − − x + C ， 从而求得 x ( x ) C x x x  x xdx = + − + − + 3 2 2 3 2 2 1 9 2 1 3 arcsin 3 arcsin 注 适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型： P (x)( x) dx m n  ln ， P (x)( x) dx m n  arctan （m 为正整数） (及某些 P (x) xdx n  arcsin 或 P (x) xdx n  arccos ). 在使用分部积分法求上述各类不定积分时,只须令 ( ) m u = ln x 或 ( ) m arctanx , v P (x) = n ' , 使用每用一次分部积分,多项式因子升幂一次,同时使 ( ) m ln x 或 ( ) m arctanx 降幂,重复这个过 程 m 次，最后化为求一多项式或一有理分式的不定积分。 例 3 求下列不定积分（循环法）： （1） e xdx x cos −  ； （2） xdx 3 sec ； (3) ( 0) 2 2  x + a dx a  解 （1）由前面问题 2 已知 e xdx e x e xdx x x x cos sin sin − − −  = +  e x e x e xdx x x x sin cos cos − − − = − −  ， 并由此求得结果（2.6）,更一般地,按此法可得 e C a b b bx a bx e bxdx ax ax + + +  = 2 2 sin cos cos , e C a b a bx b bx e bxdx ax ax + + −  = 2 2 sin cos sin , (参见教材上册第 188 页例 15) (2) sec xdx secxd(tan x) 3  =  x x x xdx 2 = sec tan − sec tan x x xdx xdx 3 = sec tan + sec − sec , 于是得到 xdx (sec x tan x sec xdx) 2 1 sec3  = +  = (sec x tan x + ln sec x + tan x )+ C 2 1