∫√x2+a2dx 同理得到 说明若令x=atnt,则∫√x2+a2ax=a2sect,即化为题(2)的情形。 注适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型: ∫P(snbx2 ∫P( cosby)2 或某些类似于本例(2)、(3)那样的不这积分,这些不定积分经若干次分部积分后,出 现形如 F(x)+, 的“循环(或“重现”)形式,由此即可求得 例4求下列不定积分(递推法) (1)ln=∫x" cos xd (2)1(nm)=∫x"nx)ax 其中n,m为正整数,并分别用以计算 ∫x3 cos xdx和∫x2(nx)d 解(1)用“降幂法”计算得 L=x"d(sin x)=x"sinx-nJxlcosxdx "sin x+nx"-cosx-nIn-IJx"cos xdx, 这就得到递推公式 (初值:1=xsix+cosx+C1,lo=six+C0) 利用此递推公式,易得(3) d x x a x x a d x x x a 2 2 2 2 2 2 2 +  + = + −  x a dx x a dx x x a a 2 2 2 2 2 2 2 −  + + = + +  , 同理得到         +  + = + +  2 2 2 2 2 2 2 2 1 x a d x x a d x x x a a x x a a x x a  + C      = + + + + 2 2 2 2 2 ln 2 1 说明 若令 x = a tant ,则 x a dx a tdt 2 2 2 3  + = sec ,即化为题(2)的情形。 注 适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型： P ( bx)e dx ax n  sin ， P ( bx)e dx ax n  cos ， 或某些类似于本例（2）、（3）那样的不这积分，这些不定积分经若干次分部积分后，出 现形如 I == F(x) + I, 1 的“循环（或“重现”）形式，由此即可求得 I F(x) + C − = 1  1 例 4 求下列不定积分（递推法）： （1） I x xdx n n =  cos ； （2） I(n m) x ( x) dx n m , =  ln ， 其中 n,m 为正整数，并分别用以计算 x cos xdx 3  和 x ( x) dx 2 2  ln 解 （1）用“降幂法”计算得 I x d( x) x x n x xdx n n n n sin sin cos −1 =  = −  x x n x d( x) n n sin cos −1 = +  x x nx x n(n ) x xdx n n n sin cos 1 cos −1 −1 = + − −  ， 这就得到递推公式： ( ) 2 1 sin cos 1 − − = + − − n n n n I x x nx x n n I （初值： 1 1 0 0 I = x sin x + cos x + C ,I = sin x + C ） 利用此递推公式，易得