·1078· 工程科学学报，第37卷，第8期 T=F-1.{det (F)a).F-T. (6) 式中，F-l为弹性变形梯度的逆，det(F)为弹性变形 ”=(-安)∑ (14) 梯度的行列式的值，o为Cauchy应力，Fe-T为弹性变 式中，“和“分别为第α个滑移系的滑移阻力及其变 形梯度转置的逆. 化率，h:和S:分别为第α个滑移系的硬化率和滑移 Green应变张量E可表示为 阻力饱和值. E-i(FF-D. 滑移系硬化率h:可表示为 (7) hg=h.(1+w) (15) 式中，FT为弹性变形梯度的转置，I为单位张量 式中，h,为无李晶时的硬化率，地和b均为李生硬化参 四阶弹性张量C可表示为 数，其中b为李晶体积分数的指数 [Cu CI2 C1 0 0 01 滑移阻力饱和值S可表示为 C2C1C200 0 S.=Sn+Sfs (16) 0 0 0 式中，S。为无李晶时滑移阻力饱和值，S表征了Hall- C= (8) 0 0 0 Petch效应对硬化的贡献，指数o.5”通过推导Hall- Ca 0 0 0 0 0 0 Petch关系gxla5(σ表示屈服极限，l表示晶粒度) Cu 0 及孪晶体积分数与孪晶平均间距的反比关系∫∝得 0 0 00 0 C) 到，其中1为滑移长度，为李晶平均间距 式中，C、C2和Cu为材料常数. 变形过程中的李生变形阻力则设为与滑移阻力成 根据Schmid定律，第a个滑移系的分解剪应力 正比的关系： “为 s=6s“ (17) “=rS (9) 式中，s为第B个孪生系的李生阻力，δ为孪生与滑移 同理，第B个孪生系的分解剪应力为 阻力比值 =r:S8. (10) 1.2流动法则 2本构模型的数值实现与参数选取 对于率相关的晶体塑性本构模型，滑移系的剪切 2.1晶体塑性本构模型的数值实现 速率采用黏塑性理论中的幂指数关系： 对于率相关晶体塑性本构关系，有半隐式积分方 7=|F“e). (11) 案和全隐式积分方案.积分方案的区别主要在于建立 非线性方程组时选择的独立变量的不同.Kalidindi 式中，y°为参考塑性剪切率，s“为第α《个滑移系的滑 提出的全隐式积分方案，独立变量为塑性变形梯度和 移变形阻力，m为材料的率敏感系数，sign(r)为r的 滑移系变形阻力：Sarma和Zacharia提出的全隐式积 符号函数 分方案中独立变量为弹性变形梯度；Marin等提出的全 由孪生引起的塑性剪切量表示为 隐式积分方案的独立变量是刚性转动张量的.本工 y=yre (12) 作针对晶体塑性率相关本构模型，以第二Piola一Kirch- 式中，y√为第B个孪生系的孪生剪切量，为第B个李 of应力T和滑移阻力s“为独立变量，推导其全隐式 生系的李晶体积分数.设定∫为所有李生系中李晶体 积分过程，并基于ABAOUS/UMAT平台开发其子程 积分数的累积和，即∫=∑户当∫达到某一阀值6 序.其数值更新过程如下 时，李晶体积分数达到饱和，即不再发生李生四 第1步：输入已知量，ln时刻的变形梯度F1n 时刻F。T.s和F,T。和s:分别为前一增量步结 孪生具有方向性，其孪晶体积分数变化率可以表 示为阳 束时的收敛值，Schmid张量S和S; 第2步：判断总孪晶体积分数∫是否达到阈值f。, 1/m (>0), 如果超过阈值，则不再发生孪生且∫=，否则直接进 (13) 入第3步： P=0 (<0或f>) 第3步：根据式(1)、式(5)和式(7)，求解t.1时 1.3滑移与孪生耦合的硬化模式表征 刻的状态变量试探值，即 目前应用比较广泛的硬化模型有线性硬化模型、 Fe=FF, 幂指数模型和饱和硬化模型8.本文采用饱和 硬化模型来描述孪生对滑移的硬化.滑移阻力的演化 E=2(FF-D, 规律如下： T=C:E工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 T = Fe － 1·{ det( Fe ) σ}·Fe － T ． ( 6) 式中，Fe － 1为弹性变形梯度的逆，det( Fe ) 为弹性变形 梯度的行列式的值，σ 为 Cauchy 应力，Fe － T 为弹性变 形梯度转置的逆． Green 应变张量 Ee 可表示为 Ee = 1 2 ( FeTFe － I) ． ( 7) 式中，FeT为弹性变形梯度的转置，I 为单位张量． 四阶弹性张量 C 可表示为 C = C11 C12 C12 0 0 0 C12 C11 C12 0 0 0 C12 C12 C11 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C                  44  ． ( 8) 式中，C11、C12和 C44为材料常数． 根据 Schmid 定律，第 α 个滑移系的分解剪应力 τα 为 τα = σ∶ Sα ． ( 9) 同理，第 β 个孪生系的分解剪应力 τβ 为 τβ = σ∶ Sβ ． ( 10) 1. 2 流动法则 对于率相关的晶体塑性本构模型，滑移系的剪切 速率采用黏塑性理论中的幂指数关系: γ ·α = γ ·0 τα s α 1 /m sign( τα ) ． ( 11) 式中，γ ·0 为参考塑性剪切率，s α 为第 α 个滑移系的滑 移变形阻力，m 为材料的率敏感系数，sign( τα ) 为 τα 的 符号函数． 由孪生引起的塑性剪切量表示为 γβ = γtw f β ． ( 12) 式中，γβ 为第 β 个孪生系的孪生剪切量，f β 为第 β 个孪 生系的孪晶体积分数． 设定 f 为所有孪生系中孪晶体 积分数的累积和，即 f = ∑ β f β ． 当 f 达到某一阈值 f0 时，孪晶体积分数达到饱和，即不再发生孪生［13］． 孪生具有方向性，其孪晶体积分数变化率可以表 示为［4］ f ·β = γ · 0 γ ( tw τβ s β ) 1 /m ( τβ ＞ 0) ， f ·β = 0 ( τβ ＜ 0 或 f ＞ f0 ) { ． ( 13) 1. 3 滑移与孪生耦合的硬化模式表征 目前应用比较广泛的硬化模型有线性硬化模型、 幂指数模型［14］和饱和硬化模型［4，8--9］． 本文采用饱和 硬化模型来描述孪生对滑移的硬化． 滑移阻力的演化 规律如下: s ·α = hα s ( 1 － s α Sα ) s ∑α γ ·α ． ( 14) 式中，s α 和 s ·α 分别为第 α 个滑移系的滑移阻力及其变 化率，hα s 和 Sα s 分别为第 α 个滑移系的硬化率和滑移 阻力饱和值． 滑移系硬化率 hα s 可表示为 hα s = hs( 1 + wfb ) ． ( 15) 式中，hs 为无孪晶时的硬化率，w 和 b 均为孪生硬化参 数，其中 b 为孪晶体积分数的指数． 滑移阻力饱和值 Sα s 可表示为 Sα s = Ss0 + Spr f 0. 5 ． ( 16) 式中，Ss0为无孪晶时滑移阻力饱和值，Spr表征了 Hall￾Petch 效应对硬化的贡献［8］，指数“0. 5”通过推导 Hall￾Petch 关系 σ∝l － 0. 5 ( σ 表示屈服极限，l 表示晶粒度) 及孪晶体积分数与孪晶平均间距的反比关系 f∝l － 1 tw 得 到［4］，其中 l 为滑移长度，ltw为孪晶平均间距． 变形过程中的孪生变形阻力则设为与滑移阻力成 正比的关系: s β = δs α ． ( 17) 式中，s β 为第 β 个孪生系的孪生阻力，δ 为孪生与滑移 阻力比值． 2 本构模型的数值实现与参数选取 2. 1 晶体塑性本构模型的数值实现 对于率相关晶体塑性本构关系，有半隐式积分方 案和全隐式积分方案． 积分方案的区别主要在于建立 非线性方程组时选择的独立变量的不同． Kalidindi［4］ 提出的全隐式积分方案，独立变量为塑性变形梯度和 滑移系变形阻力; Sarma 和 Zacharia［14］提出的全隐式积 分方案中独立变量为弹性变形梯度; Marin 等提出的全 隐式积分方案的独立变量是刚性转动张量［15］． 本工 作针对晶体塑性率相关本构模型，以第二 Piola--Kirch￾hoff 应力 T 和滑移阻力 s α 为独立变量，推导其全隐式 积分过 程，并 基 于 ABAQUS /UMAT 平 台 开 发 其 子 程 序． 其数值更新过程如下． 第 1 步: 输入已知量，tn + 1时刻的变形梯度 Fn + 1，tn 时刻 Fn、Tn、s α n 和 Fp － 1 n ，Tn 和 s α n 分别为前一增量步结 束时的收敛值，Schmid 张量 Sα 和 Sβ ; 第 2 步: 判断总孪晶体积分数 f 是否达到阈值 f0， 如果超过阈值，则不再发生孪生且 f = f0，否则直接进 入第 3 步; 第 3 步: 根据式( 1) 、式( 5) 和式( 7) ，求解 tn + 1 时 刻的状态变量试探值，即 Fe tr n + 1 = Fn + 1·Fp － 1 n ， Ee tr n + 1 = 1 2 ( Fe trT n + 1·Fe tr n + 1 － I) ， Ttr n + 1 = C∶ Ee tr n + 1 ; · 8701 ·