方面,在变化过程的每一时刻,即相对静止时,它是一个有限量:另一方面,其 变化趋势则以0为极限,即是一个无穷小量。记微分形式f(x)dx为d,在应用 中常被称作量I(x)的微元。总量/即是微元d=f(x)dx的积分。 我们宁愿把f(x)dx称作微元,而不直接称为的微分,原因在于实际应用时, 往往和上述由积分导出微元d的过程相反,微元法是由微元f(x)dx出发导出 积分,即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量,它与变量x的变化区间[a,b有关,而且 (1)满足关于区间的可加性,即整体等于局部之和 (2)它在[x,x+x]上的部分量M近似于dx的一个线性函数,即 M-dI=o(dx),其中d=f(x)dkx称之为量的微元 那么,以微元d=f(x)dkx为被积表达式,作积分即得 I=」f(x)dr。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性,且其小增量均可用微元近似表示,从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于M-d=o(dx)的验证 二.面积问题(直角坐标下的区域) 考察由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a<b)所围平面图形 的面积。 先设f≥g,变量x的变化区间为[a,b]。显然,面积具有关于区间的可加性。 在区间微元[x,x+a]上,相应的小曲边形(图3.4.1中阴影部分)面积△A近似 等于高为f(x)-g(x),宽为dx的矩形面积,即 △4≈[f(x)-g(x)dx, 所以,面积微元为 dA=f(x)-g(x)ldx 于是,所求的面积 A= [(x)-g(x)]dx 如果删去条件∫≥g,同样可得 xx+dx b da=f(x)-g(x) dx 图 3.4.1 从而 A=[1/(x)-g(x)ldx 例34.1求由抛物线y=x2及直线y=3x所围图形的面积(图342)。 解先求出两曲线交点为(0,0)和(3,9)。如果以x为积分变量,取积分区间 为[0,3],有 A=(3 如果以y为积分变量,则应取积分区间为[0,9],此时 y 图342方面，在变化过程的每一时刻，即相对静止时，它是一个有限量；另一方面，其 变化趋势则以 0 为极限，即是一个无穷小量。记微分形式 f (x)dx 为 dI ，在应用 中常被称作量 I(x) 的微元。总量 I 即是微元 dI  f (x)dx 的积分。 我们宁愿把 f (x)dx 称作微元，而不直接称为 I 的微分，原因在于实际应用时， 往往和上述由积分 I 导出微元 dI 的过程相反，微元法是由微元 f (x)dx 出发导出 积分，即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量 I ，它与变量 x 的变化区间 [a, b] 有关，而且 （1） 满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和； （ 2 ） 它 在 [x, x  dx] 上 的 部 分 量 I 近 似 于 dx 的 一 个 线 性 函 数 ， 即 I  dI  o(dx) ，其中 dI  f (x)dx 称之为量 I 的微元。 那么，以微元 dI  f (x)dx 为被积表达式，作积分即得   b a I f (x)dx 。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性，且其小增量均可用微元近似表示，从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于 I  dI  o(dx) 的验证。 二．面积问题（直角坐标下的区域） 考察由曲线 y  f (x)， y  g(x) 和直线 x  a， x  b （ a  b ）所围平面图形 的面积。 先设 f  g ，变量 x 的变化区间为 [a, b] 。显然，面积具有关于区间的可加性。 在区间微元 [x, x  dx] 上，相应的小曲边形（图 3.4.1 中阴影部分）面积 A 近似 等于高为 f (x)  g(x) ，宽为 dx 的矩形面积，即 A  [ f (x)  g(x)]dx， 所以，面积微元为 dA [ f (x)  g(x)]dx。 于是，所求的面积    b a A [ f (x) g(x)]dx。 如果删去条件 f  g ，同样可得 dA| f (x)  g(x)| dx， 从而    b a A | f (x) g(x) | dx。 例 3.4.1 求由抛物线 2 y  x 及直线 y  3x 所围图形的面积（图 3.4.2）。 解 先求出两曲线交点为 (0, 0) 和 (3, 9) 。如果以 x 为积分变量，取积分区间 为 [0, 3] ，有     3 0 2 A (3x x )dx 2 9 3 1 2 3 3 0 2 3        x  x 。 如果以 y 为积分变量，则应取积分区间为 [0, 9] ，此时          9 0 3 dy y A y x y O (3, 9) 图 3.4.2 2 y  x y  3x