教案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样,自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果,它们可以用 Riemann和式的极限来刻 画,即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用,主要是以下几方面的内容: (1)微元法; (2)平面图形的面积 (3)已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积 (4)曲线的弧长及其曲率 (5)旋转曲面的面积。 教学思路和要求 微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法, 要详细讲透其思想,使学生在今后能够举一反三地使用 (2)在用推导公式时,注意说明选取微元的着眼点与理由,并注意说明整体 微元如何导出,使学生学会灵活运用微元法; (3)注意几何背景的说明,并结合实际例子说明一些图形的特点与画法,以 及积分区间的选取 (4)注意指出对于复杂的几何图形,在计算时要具体问题具体分析,可能要 分几部分来讨论,不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 .微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画我们再度分析一下=C( 的概念。 首先,对固定的函数f,/取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质:可加性,即[a,b]被分为许多部分小区间,则I被相应地分成许多部分量Ml, 总量Ⅰ等于诸部分量之和,即I=>M,。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次,由于可加性,问题便化为部分量M的计算。对连续函数∫,记 (x)=J(h,则有r(x)=f(x),所以 △=I(x+△x)-1(x)=f(x)dx+o(dx)。 由此可见,对于能用定积分刻画的量,其在区间微元[x,x+ax]上的部分量应能 近似地表现为dx的线性函数,即M≈f(x)kx,而且其误差应是比dx高阶的无穷 小 上面的dx是自变量的微分,在应用中常被称作x的微元。它是一个变量教 案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样，自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果，它们可以用 Riemann 和式的极限来刻 画，即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用，主要是以下几方面的内容： （1） 微元法； （2） 平面图形的面积； （3） 已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积； （4） 曲线的弧长及其曲率； （5） 旋转曲面的面积。 教学思路和要求 （1）微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法， 要详细讲透其思想，使学生在今后能够举一反三地使用； （2）在用推导公式时，注意说明选取微元的着眼点与理由，并注意说明整体 微元如何导出，使学生学会灵活运用微元法； （3）注意几何背景的说明，并结合实际例子说明一些图形的特点与画法，以 及积分区间的选取； （4）注意指出对于复杂的几何图形，在计算时要具体问题具体分析，可能要 分几部分来讨论，不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 一．微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画，我们再度分析一下   b a I f (t)dt 的概念。 首先，对固定的函数 f ， I 取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质：可加性，即 [a,b] 被分为许多部分小区间，则 I 被相应地分成许多部分量 i I ， 总量 I 等于诸部分量之和，即   i I I 。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次，由于可加性，问题便化为部分量 I 的计算。对连续函数 f ，记   x a I(x) f (t)dt ，则有 I(x)  f (x) ，所以 I  I(x  x)  I(x)  f (x)dx  o(dx)。 由此可见，对于能用定积分刻画的量，其在区间微元 [x, x  dx] 上的部分量应能 近似地表现为 dx 的线性函数，即 I  f (x)dx ，而且其误差应是比 dx 高阶的无穷 小。 上面的 dx 是自变量的微分，在应用中常被称作 x 的微元。它是一个变量。一