∫=m∫f,4 其中{fn}是非负简单函数列并且∫n↑∫. 由§3定理9上述的{m}是存在的又有引理3,Jd的值不依赖于{m}的选取 因此的定义是确定的而且我们也可以用()的右边作为∫的定义这两种定 义式等价的 定理5设∫,g是非负可测函数则 ()Jc=g,(c20是实数 )j(+g)d-J+ i)若f≤gae,则fSgd 证明()和(i)是显然的.下面证明(i).设{n}和{gn}是非负简单函数列使得 fn↑∫,8n↑8.由于∫≤gae,我们可适当选取{fn}和{gn}使得 fn≤gn,ae.,n≥1.于是由定理2(i),我们有 ∫a=lm∫,du s lim g,48d 故(i)成立■ Il一般可测函数的积分 定义6设∫是一可测函数,f和厂分别是∫的正部和负部若d和 ∫d至少有一个是有限的,则称∫的积分存在,并定义厂关于测度的积分为 f au=lfdu-If dA 当∫fd和fd都是有限值时称∫是可积的设EcX是一可测集,厂是定义在E 上的可测函数,若f的积分存在(或可积,则称∫在E上的积分存在(相应地,可积)并 定义∫在E上的积分为 M=」mE 测度空间(X,,)上的可积函数的全体记为L(X,,4)或者简记为L(4) 注1注意∫的积分存在与∫可积之间的区别当∫的积分存在的时候,其积分值可 能是有限的,也可能为±∞.只有当∫可积的时候,其积分值才是有限的另外非负可测100 ∫ ∫ →∞ fdµ = lim f dµ. n n 其中{ }n f 是非负简单函数列并且 f f . n ↑ 由 3.1 定理 9, 上述的{ }n f 是存在的.又有引理 3,∫ fdµ 的值不依赖于{ }n f 的选取. 因此 ∫ fdµ 的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为 ∫ fdµ 的定义. 这两种定 义式等价的. 定理 5 设 f , g 是非负可测函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii). 若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . 证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 下面证明 (iii) . 设{ }n f 和{ }n g 是非负简单函数列使得 f f , n ↑ g g. n ↑ 由 于 f ≤ g a.e., 我们可适当选取 { }n f 和 { }n g 使 得 f ≤ g , a.e., n ≥ 1. n n 于是由定理 2 (iii), 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ = →∞ fdµ lim f dµ lim g dµ gdµ . n n n n 故(iii) 成立. III. 一般可测函数的积分 定义 6 设 f 是一可测函数, + f 和 − f 分别是 f 的正部和负部.若 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 至少有一个是有限的, 则称 f 的积分存在, 并定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ ∫ + − fdµ = f dµ − f dµ. 当 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 都是有限值时,称 f 是可积的.设 E ⊂ X 是一可测集, f 是定义在 E 上的可测函数. 若 E fI 的积分存在(或可积), 则称 f 在 E 上的积分存在(相应地,可积). 并 定义 f 在 E 上的积分为 ∫ = E fdµ ∫ fI E dµ . 测度空间(X , F ,µ) 上的可积函数的全体记为 L(X , F ,µ) 或者简记为 L(µ). 注 1 注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值可 能是有限的, 也可能为 ± ∞. 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另外非负可测