∫=∑(4)=∑b(4)=Jsd )由于{}是单调增加的由(1)知道∫,4是单调增加的故极限imJf, 存在设g=∑b4又设E是任意给定的,满足0<E<1.对每个=1…,k和自然数 ≥1,令 An={x∈A:fn(x)≥(1-E)b} 则对每个i=1,…,k,{An}是单调增加的可测集列并且由于limJ(x)≥g(x),我们 有4=U4n对每个自然数n≥1令 E 则{8n}是非负简单函数列满足gn≤fn,n≥1.由(i)和测度的下连续性,我们得到 inJ42lmng4=lm∑(-(A) =∑(-6(4)=(-8)d 由于E是任意的,我们得到 lim f,dp2gd■ 引理3设∫是一非负可测函数,{n}是一非负简单函数列并且fn个f.则有 imJ,4=spg∈S,并且gs (其中S+表示非负简单函数的全体) 证明显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边反过来设g是非负简 单函数并且g≤∫.由于imn=f≥g,由定理2必有!m,d28dm因此 imJ42 sup( gd,:g∈S,并且gsf 所以(1)成立 I.非负可测函数积分 定义414设∫是一非负可测函数定义∫关于测度的积分为99 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = ≤ = n i i i n i i i fd a A b A gd (iv).由于{ }n f 是单调增加的,由(iii) 知道 ∫ f n dµ 是单调增加的,故极限 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在.设 . 1 ∑= = k i i Ai g b I 又设ε 是任意给定的, 满足 0 < ε < 1. 对每个 i = 1,L, k 和自然数 n ≥ 1, 令 { : ( ) (1 ) }. i,n i n i A = x ∈ A f x ≥ − ε b 则对每个i = 1,L, k, , 1 { } Ai n n≥ 是单调增加的可测集列,并且由于 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ , 我们 有 . 1 U , ∞ = = n Ai Ai n 对每个自然数 n ≥ 1, 令 (1 ) . , 1 Ai n i k i n g ∑ b I = = − ε 则{ }n g 是非负简单函数列满足 g ≤ f ,n ≥ 1. n n .由(iii) 和测度的下连续性, 我们得到 (1 ) ( ) (1 ) .. lim lim lim (1 ) ( ) 1 , 1 ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ = − = − ≥ = − = = →∞ →∞ →∞ ε µ ε µ µ µ ε µ b A gd f d g d b A i i k i i i n k i n n n n n 由于ε 是任意的, 我们得到 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 引理 3 设 f 是一非负可测函数,{ }n f 是一非负简单函数列并且 f f . n ↑ 则有 lim sup{ : , }. ∫ ∫ = ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 (1) (其中 + S 表示非负简单函数的全体). 证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设 g 是非负简 单函数并且 g ≤ f . 由于 lim f f g, n n = ≥ →∞ 由定理 2,必有 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .因此 lim sup{ : , }. ∫ ∫ ≥ ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 所以(1)成立. II. 非负可测函数积分 定义 4.1.4 设 f 是一非负可测函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为