当然在一般测度空间的情形,积分∫无几何意义可言但仍可以看成是一种加权 和,而 ()a则可以看成是∫在X上的一种平均值 例1设A是一可测集,则A的特征函数A是非负简单函数因此 1:d=1.p(A)=H(A) 这个简单事实以后会经常用到 为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质 定理2设∫,g是非负简单函数则 ()[cf=c,(c20是实数 (ii). (+g)du= fdu+ gdu i)若∫gae,则Ms」sd (iv)若g,Jn(m≥1)是非负简单函数,满足∫n≤fn1(n≥1),并且 imnf()2g(x)处处成立则im42」m 证明(i).是显然的.(i) g=∑b,ln 不妨设x=∪4=∪B,则∫,8可以写成 故不妨设∫=∑aJEg=∑bE于是 (f +g)du= ∑(an +b)(E)=∑a.H(E)+∑bH(E)=m+」gd (i)不妨设∫=∑a4,8=∑bl4由于∫≤gae,因此对任意=1…n 当(A1)>0时,a1≤b,所以98 当然在一般测度空间的情形, 积分 ∫ fdµ 无几何意义可言. 但仍可以看成是一种加权 和, 而 ∫ µ µ fd (X ) 1 则可以看成是 f 在 X 上的一种平均值. 例 1 设 A 是一可测集, 则 A 的特征函数 A I 是非负简单函数. 因此 ∫ I d = 1⋅ (A) = (A). A µ µ µ 这个简单事实以后会经常用到. 为进一步定义可测函数的积分, 我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质. 定理 2 设 f , g 是非负简单函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . (iv). 若 g, f (n ≥ 1) n 是非负简单函数 , 满 足 ( 1) f n ≤ f n+1 n ≥ , 并 且 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ 处处成立, 则 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 证明 (i).是显然的. (ii).设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = m j j Bj g b I 不妨设 . 1 1 U U m j j n i X Ai B = = = = 则 f , g 可以写成 , 1 1 ∑∑= = = ∩ n i m j i Ai Bj f a I . 1 1 ∑∑= = = ∩ m j n i j Ai Bj g b I 故不妨设 ∑= = n i i Ei f a I 1 ∑= = n i i Ei g b I 1 于是 ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ + = + = + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. 1 1 1 f g dµ a b µ E a µ E b µ E fdµ gdµ n i i i n i i i n i i i i (iii).不妨设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = n i i Ai g b I 由于 f ≤ g a.e., 因此对任意 i = 1,L, n, 当 ( ) > 0 µ Ai 时, , i i a ≤ b 所以