明充分性.设T∈B(H),记o(x Vx.v,z∈ B∈Φ (a+的,2)=(T(ax+y),=) (Tx,-)+B(7y,2)=aqp(x,)+Pp(y,=) q(x,a+)=(x,a+f)=a(x,y)+Bp(x,=), lo(x,y)=(x,y≤7xpy≤7时xy 于是≤.g是有界的 必要性.若(x,y)是有界一、五线性的,Vx∈H,令 f(y)=(x,y),Vy∈H是H上的连续线性泛函.实际上,由定义 (y)=l(x,y)≤|ply 由定理1,存在z∈H使得f(y)=(y,2).记T:H→H,Tx=,则 方面 (Tx, y)=(,y)=(, )=f()=p(x, y),Vx,yEH 另一方面,若Tx≠0,令y=1x,则 ITxl=\x (Tx, Tx) 故|7≤|p T是由φ唯一决定的.实际上,若另有T1使得 (Tx,y)=o(x,y)=(Ix, y),x,yEH 则由y的任意性,必有Tx=Tx,再由x的任意性得到T=T.最后由 上面证明知道= 定理4设H是 Hilbert空间,则ⅤA∈B(H),存在唯一的 B∈B(H)使得5 证 明 充分性 . 设 T ∈ B(H) , 记 ϕ(x, y) = (Tx, y) ， 则 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) = (T(αx + βy),z) =α(Tx,z) + β (Ty,z) =αϕ(x,z) + βϕ( y,z) . ϕ(x,αy + βz) = (Tx,αy + βz) =αϕ(x, y) + βϕ(x,z) , 由于 ϕ(x, y) = (Tx, y) ≤ Tx y ≤ T x y . 于是 ϕ ≤ T . ϕ 是有界的. 必要性 . 若 ϕ(x, y) 是有界一、五线性的 , ∀x∈ H , 令 f ( y) =ϕ(x, y) ， ∀y ∈ H 是 H 上的连续线性泛函. 实际上, 由定义 f ( y) = ϕ(x, y) ≤ ϕ x y . 由定理 1, 存在 z ∈ H 使得 f ( y) = ( y,z) . 记 T : H → H , Tx = z , 则一 方面 (Tx, y) = (z, y) = ( y,z) = f ( y) =ϕ(x, y), ∀x, y ∈ H . 另一方面, 若 Tx ≠ 0 , 令 Tx Tx y = , 则 Tx = Tx (Tx,Tx) = x Tx Tx x x (T( ), ) = x Tx Tx x x ϕ( , ) ≤ ϕ x 故 T ≤ ϕ . T 是由 ϕ 唯一决定的. 实际上, 若另有 T1使得 ( , ) 1 T x y =ϕ(x, y) = (Tx, y) , ∀x, y ∈ H . 则由 y 的任意性, 必有 T x1 = Tx , 再由 x 的任意性得到 T1 = T . 最后由 上面证明知道 T = ϕ . 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空 间 , 则 ∀A BH ∈ ( ) , 存在唯一的 B ∈ B(H) 使得